Anneau unitaire. Anneau commutatif. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Définition[modifier | modifier le code] Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative[1]. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents[2].
Exemples[modifier | modifier le code] Histoire[modifier | modifier le code] Voir la théorie des anneaux Anneaux intègres[modifier | modifier le code] Anneau Z. Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (autre que zéro) « après la virgule ».
Les entiers relatifs permettent d'exprimer la différence de deux entiers naturels quelconques. Entre autres significations de la différence, on peut citer la position sur un axe orienté par rapport à un point de référence (un axe à positions discrètes, c'est-à-dire discontinues) ; le déplacement depuis une position d'origine, dans un sens ou dans l'autre ; ou encore la variation d'une valeur entière, donc comptée en unités (variation positive pour un gain, négative pour une perte). Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Il est aussi muni des opérations d'addition et de multiplication qui fondent la notion d'anneau en algèbre. Anneau Z/n. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, ℤ/nℤ est un cas particulier d'anneau commutatif, correspondant au calcul modulaire sur les restes des entiers dans la division par n. Sous-anneau. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, un sous-anneau d'un anneau (unitaire) A est une partie de A stable pour les opérations de A et ayant une structure d'anneau avec le même neutre multiplicatif que A. Idéal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau et qui est de plus stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient. En algèbre commutative deux types d'idéaux sont omniprésents : les idéaux maximaux et, sans doute encore davantage, les idéaux premiers. Dans l'anneau des entiers relatifs, tant les idéaux maximaux que les idéaux premiers (non nuls) sont les pZ, où p est un nombre premier ; dans les anneaux commutatifs plus abstraits ces familles d'idéaux généralisent la notion de nombre premier. .
Idéal principal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un unique élément. Définition[modifier | modifier le code] Soient A un anneau et I un idéal de A. I est dit principal s'il est principal à la fois à gauche et à droite (ce qui est toujours le cas si A est commutatif). Dans ce cas, on note I=(a) et I est forcément le plus petit idéal contenant a. Module sur un anneau. Pour les articles homonymes, voir Module.
Comparaison avec la structure d'espace vectoriel[modifier | modifier le code] Certaines propriétés vraies pour les espaces vectoriels ne sont plus vraies pour les modules. Par exemple l'existence d'une base n'y est plus assurée, et on ne peut pas nécessairement y développer de théorie de la dimension, même dans un module engendré par un nombre fini d'éléments. Les modules ne sont pas une généralisation inutile. Ils apparaissent naturellement dans beaucoup de situations algébriques ou géométriques. Anneau intègre. Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucun diviseur de zéro.
Définition[modifier | modifier le code] Un anneau commutatif unitaire. Anneau factoriel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure. Tout élément d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles, cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près[1]. Par exemple dans Z, l'anneau des entiers relatifs, –2 est irréductible. Les exemples d'anneau factoriel ne sont pas rares. Anneau principal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Définitions[modifier | modifier le code] Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, ab = ba. Anneau euclidien. Statue d'Euclide à Oxford. En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. Un anneau euclidien est toujours principal.
Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire, mais dans un cadre plus général. L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers relatifs, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou certains autres anneaux d'entiers quadratiques.
Histoire[modifier | modifier le code] Groupe des unités. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un élément u d'un anneau unitaire (A,+,×) est appelé unité de cet anneau, ou inversible dans cet anneau, quand il existe v dans A vérifiant : uv = vu = 1A (où 1A est l'élément neutre de A pour la seconde loi). Primalité dans un anneau. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Élément irréductible redirige ici. Pour d'autres significations, voir Irréductible En algèbre commutative, dans un anneau intègre, un élément p est dit irréductible s'il n'est ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles. Caractéristique d'un anneau. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. On note, pour un anneau unitaire (A,+,×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que.
Théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. Théorème fondamental de l'arithmétique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Par exemple, nous pouvons écrire que : 6 936 = 23 × 3 × 172 ou encore 1 200 = 24 × 3 × 52 et il n'existe aucune autre factorisation de 6 936 ou 1 200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus. Théorème de Bachet-Bézout. Pour les articles homonymes, voir Bachet. Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire : ax + by = pgcd(a, b) Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux (si et) seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions. Théorème des restes chinois. Congruence linéaire. L'équation a des solutions entières x si et seulement si le pgcd de A et M divise B, et ces solutions forment alors une classe de congruence modulo M/pgcd(A, M). On sait aussi résoudre un système quelconque (A1x ≡ B1 mod M1, … , Akx ≡ Bk mod Mk) de telles équations, même lorsque le théorème des restes chinois ne s'applique pas directement. Cas d'une seule congruence[modifier | modifier le code] SoientA ≠ 0, B et M trois entiers,d le pgcd de A et M,a et m les entiers premiers entre eux A/d et M/d,b le rationnel B/d.
La congruence linéaire Ax ≡ B mod M a des solutions si et seulement si b est entier. Elle équivaut alors à x ≡ c × b mod m,où c est un inverse de a modulo m. Lorsque l'ensemble des solutions est non vide, il forme donc une classe mod m, soit d classes mod M. Tous ces résultats se déduisent de l'étude de l'équation diophantienne Ax + My = B[2]. Exemples. Cas de deux congruences[modifier | modifier le code] Exemple. Système de k congruences[modifier | modifier le code] autrement dit : Théorème des deux carrés de Fermat. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants.
Arithmétique modulaire. Idéal premier. Idéal maximal. Morphisme d'anneaux. Entier algébrique. Pour les articles homonymes, voir Entier. Entier quadratique. Entier de Gauss. Élément entier. Spectre d'anneau.