Probabilités (mathématiques élémentaires) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article présente une approche élémentaire du calcul des probabilités ; pour d'autres notions sur les probabilités voir Probabilité, pour une description rigoureuse de la théorie mathématique correspondante, voir Théorie des probabilités, pour l'historique de ces notions, voir Histoire des probabilités. Les probabilités est la branche des mathématiques qui calcule la probabilité d'un événement, c'est-à-dire la fréquence d'un événement par rapport à l'ensemble des cas possibles. Cette branche des mathématiques est née des jeux du hasard, plus précisément du désir de prévoir l'imprévisible ou de quantifier l'incertain. Il faut avant tout préciser ce qu'elle n'est pas : elle ne permet pas de prédire le résultat d'une unique expérience. Si on lance un dé 10 000 fois, la fréquence d'apparition du n°6 sera très voisine de 1/6. Combinatoire.
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Généralités et historique[modifier | modifier le code] La combinatoire remonte à l'Antiquité [1] : Plutarque rapporte ainsi un débat entre Chrysippe et Hipparque sur le nombre de façons de combiner dix propositions, le résultat n'ayant été compris qu'au XXe siècle[2]. Parmi les autres précurseurs, on peut citer[3] Bhāskara II au XIIe siècle (nombre de choix de p éléments parmi n), Raymond Lulle au XIIIe siècle, Gersonide au début du XIVe siècle (rapport entre le nombre d'arrangements et le nombre de combinaison), Michael Stifel au XVIe siècle (première approche du triangle de Pascal). Elle se développe de façon significative à partir du XVIIe siècle, en même temps que le calcul des probabilités avec Blaise Pascal et Pierre de Fermat.
Statistique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La statistique est d'un point de vue théorique une science, une méthode et une technique. La statistique comprend : la collecte des données, le traitement des données collectées, l'interprétation des données, la présentation afin de rendre les données compréhensibles par tous. Ainsi la statistique est un domaine des mathématiques qui possède une composante théorique ainsi qu'une composante appliquée. Histoire des probabilités. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les discussions entre scientifiques, la publication des ouvrages et leur transmission étant difficiles à certaines époques, certaines questions historiques restent difficiles à résoudre ; c'est le cas de la paternité [C'est-à-dire ?] De la théorie des probabilités. Les premières utilisations et idées[modifier | modifier le code] Théorie des probabilités. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Courbe en cloche, histogramme et dé. La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Les objets et résultats probabilistes sont un support nécessaire à la statistique, c'est le cas par exemple du théorème de Bayes, de l'évaluation des quantiles ou du théorème central limite et de la loi normale.
Probabilité. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Événement (probabilités) Hasard. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le hasard exprime l'incapacité de prévoir avec certitude un fait quelconque, c'est-à-dire prévoir ce qu'il va advenir. Ainsi, pour éclairer le sens du mot, il est souvent dit que hasard est synonyme d'« imprévisibilité », ou « imprédictibilité ». L'emploi de « avec certitude » est important, car il est toujours possible de prévoir différentes éventualités, et même leur probabilité, mais on ne peut simplement pas dire laquelle adviendra. Par exemple, lors du lancer d'un dé à six faces, on sait que le résultat sera une des six possibilités, mais on ne sait pas laquelle.
Cette incapacité de prévoir peut naître de différentes causes, notamment la méconnaissance des paramètres nécessaires à la prévision, ou le manque de précision les concernant – c'est pourquoi il est aussi courant de dire que le hasard traduit notre ignorance. L'utilisation du mot « hasard » dans le langage commun se rapporte indirectement à cette définition. Jeu de hasard. Axiomes des probabilités. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) ). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés. Une mesure de probabilité est toujours définie sur un espace probabilisable est une application de dans Premier axiome[modifier | modifier le code] Pour tout événement C'est-à-dire que la probabilité d'un événement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.
Deuxième axiome[modifier | modifier le code] Probabilité conditionnelle. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir un cœur ; mais si j'aperçois un reflet rouge sur la table, je corrige mon estimation à une chance sur deux. Cette seconde estimation correspond à la probabilité d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge. Elle est conditionnée par la couleur de la carte ; donc, conditionnelle. La pratique n'est cependant pas toujours aisée, comme le montrent certains paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers.
Définition[modifier | modifier le code] défini par : Le réel se lit « probabilité de A, sachant B ». se note aussi parfois Mathématiquement, soient , nous associons le nombre noté ou. Loi de probabilité. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires.
Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou au plus dénombrable. Certaines questions ont cependant fait apparaître des lois à support infini non dénombrable ; par exemple, lorsque le nombre de tirages de pile ou face effectués tend vers l'infini, la répartition du nombre de piles obtenus s'approche d'une loi normale. Il existe beaucoup de lois de probabilités différentes. Définition informelle[modifier | modifier le code] Historique[modifier | modifier le code]