Calcul des propositions Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le calcul des propositions ou calcul propositionnel est une théorie logique qui définit les lois formelles du raisonnement. C'est la version moderne de la logique stoïcienne. C'est aussi la première étape dans la construction des outils de la logique mathématique. Introduction générale[modifier | modifier le code] Assez complexe à définir en général, la notion de proposition a fait l'objet de nombreux débats au cours de l'histoire de la logique ; l'idée consensuelle est qu'une proposition est une construction syntaxique pour laquelle il est sensé de parler de vérité. En logique mathématique, le calcul des propositions est la première étape dans la définition de la logique et du raisonnement. Définition d'une proposition[modifier | modifier le code] Quoique le calcul des propositions ne se préoccupe pas du contenu des propositions, mais seulement de leurs relations, il peut être intéressant de discuter ce que pourrait être ce contenu. Les . où et .
Sens et dénotation Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Sens et dénotation (Über Sinn und Bedeutung) est un article de Gottlob Frege publié en 1892 dans la revue Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik. Les notions qui y sont définies, le sens (Sinn) et la dénotation (Bedeutung ; aussi traduit par « vouloir-dire »), ont été déterminantes pour la constitution du domaine de la sémantique formelle d'inspiration logique. À ce titre, l'article est aussi généralement considéré comme l'un des textes fondateurs de la philosophie analytique. Dénotation[modifier | modifier le code] La dénotation (Bedeutung) d'une expression linguistique est la portion de réalité que cette expression désigne (ou qu'un locuteur cherche à désigner à l'aide de cette expression). Sens[modifier | modifier le code] Ce qui distingue les expressions « l'étoile du matin » et « l'étoile du soir », en particulier quant à leur comportement au sein des énoncés, ce sont leurs sens. Généralisation[modifier | modifier le code]
Structure (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, une structure désigne toute théorie « plus forte » que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles. C'est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures qu'elle inclut. Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé le structuralisme mathématique. En histoire des mathématiques, quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'Antiquité. En arithmétique modulaire, l'idée de structure apparaît vraiment avec l'approche de Carl Friedrich Gauss dans les Disquisitiones arithmeticæ (1801). Ces noyaux constitutifs des branches des mathématiques sont les structures mêmes : « Sous quelle forme va se faire cette opération ?
Sens et dénotation - Sémanticlopédie Un article de Sémanticlopédie. Précaution terminologique préliminaire Cet article concerne les notions fondamentales introduites par Frege (1892) sous les termes originaux de Sinn et Bedeutung . Sinn se traduit naturellement par sens (et sense en anglais). Dans l'usage courant, l'allemand Bedeutung est habituellement traduit par signification ; mais il serait inapproprié d'intituler en français l'opposition Sinn vs. Définitions Dénotation ( Bedeutung ) La dénotation d'une expression linguistique est l'objet du monde (c'est-à-dire la portion de réalité intersubjective) que cette expression désigne. Les illustrations les plus simples et élémentaires sont données par les groupes nominaux comme les noms propres et autres expressions qui s'y apparentent. Un point important de la théorie initiée par Frege est qu'à toute catégorie (grammaticale) d'expressions interprétables correspond un type particulier de dénotations possibles. Sens ( Sinn ) Ou encore, si l'on retourne la formulation: Extension
Treillis (ensemble ordonné) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Treillis. Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre. En mathématiques, un treillis[1] (en anglais : lattice) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique. Tout ensemble muni d'une relation d'ordre total est un treillis. Parmi les ensembles munis d'une relation d'ordre partiel, des exemples simples de treillis sont issus des relations d'ordre « est inclus dans » et « divise ». Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées ⋁ et ⋀ vérifiant : les deux lois sont commutatives et associatives ;pour tous a et b de E : (loi d'absorption). La loi d'absorption entraîne l'idempotence de tout élément a de E pour les deux lois[2] : et , de la manière suivante : On peut alors vérifier que Si
Gottlob Frege Gottlob Frege (/ˈɡɔtloːp ˈfreːɡə/), de son nom complet Friedrich Ludwig Gottlob Frege, né le 8 novembre 1848 à Wismar et mort le 26 juillet 1925 à Bad Kleinen, est un mathématicien, logicien et philosophe allemand, l'un des pères de la logique mathématique contemporaine et plus précisément l'inventeur du calcul des prédicats. Il est en outre considéré comme l'un des plus importants représentants du logicisme. C'est à la suite de son ouvrage Les Fondements de l'arithmétique, où il tente de dériver l'arithmétique de la logique, que Russell lui a fait parvenir le paradoxe qui porte son nom. Néanmoins Frege n'entendait nullement réduire le raisonnement mathématique à sa seule dimension logique. Son ouvrage, L’idéographie, visait à associer sur la même page, et de manière explicite, le contenu mathématique (ligne horizontale de la page) et la structure logique (ligne verticale). Biographie[modifier | modifier le code] Enfance (1848–1869)[modifier | modifier le code]
Relation d'équivalence La notion ensembliste de relation d'équivalence est omniprésente en mathématiques. Elle permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « … a le même ISBN que … » est une relation d'équivalence. Définition[modifier | modifier le code] Définition formelle[modifier | modifier le code] Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement : Par réflexivité, E coïncide alors avec l'ensemble de définition de ~ (qui se déduit du graphe par projection). Définition équivalente[modifier | modifier le code] Contre-exemples Remarque Exemples
Description définie Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Difficultés soulevées par les descriptions définies[modifier | modifier le code] Deux types de difficultés de la division des descriptions peuvent être signalés : il y a de nombreux exemples où une description définie ne semble pas référer à une réalité telle qu'exigée, comme, par exemple, l'homme est un animal, ou les phrases au pluriel.certaines descriptions n'ont pas la forme le X : par exemple, la proposition mon livre peut être reformulée en le livre de moi. Le groupe nominal le roi de France est l'exemple classique de description définie non satisfaite (i.e. sans dénotation dans le monde réel). (1) L'actuel roi de France est chauve. Puisque la France, à l'époque où Russell écrit cette phrase, n'a pas de roi, le problème qui se pose est de savoir si un tel énoncé est vrai, faux ou dénué de sens. Russell analyse ainsi l'énoncé : Cette analyse a soulevé quelques objections ; par exemple P. À quoi sert la théorie des descriptions ?