La suite de Fibonacci et le nombre d’or Rating: 3.9/5 (32 votes cast) La suite de Fibonacci doit son nom au mathématicien italien Leonardo Fibonacci qui a vécut au XIIème et XIIIème siècle. Il est connu pour avoir introduit et popularisé en Europe et en Occident la numérotation indo-arabe qui a remplacé pour les calculs la notation romaine peu pratique aux opérations arithmétiques. Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence une suite mathématique qui porte désormais son nom. Il suffit de prendre deux nombres de départ. La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. En effet: 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538… ; 34/21 = 1.61904…et ainsi de suite…plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l’écart s’amenuise, et plus le rapport des deux nombres successifs (le plus grand / le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or 1,61803…! Dans la nature, on retrouve très souvent des motifs basé sur la suite Fibonacci et sur le nombre d’or. Sources:
Règle de trois Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Tableau de proportionnalité, égalité des produits en croix et vérification à l’aide de la règle de trois. En mathématiques élémentaires, la règle de trois ou règle de proportionnalité est une méthode mathématique permettant de déterminer une quatrième proportionnelle. Plus précisément, trois nombres a, b, et c étant donnés, la règle de trois permet, à partir de l'égalité des produits en croix, de trouver le nombre d tel que (a, b) soit proportionnel à (c, d). Elle tire son nom de la présence d'une opération impliquant trois nombres (a, b et c). La règle de trois est un outil fondamental dans les problèmes de proportionnalité, comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids en économie domestique ou les problèmes de dosage en technique de laboratoire. La manière de présenter la règle de trois et la place qui lui est accordée dans l'enseignement français ont varié selon les époques.
Le nombre d'or L' histoire ... Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture.
somme des termes d'une suite géométrique Soit Sn la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0. La somme Sn s' écrit donc : Sn = a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1 . Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons qSn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn . On obtient ensuite en faisant la différence entre qSn et Sn : qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn − (a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn−1 − ( aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) − a + aqn qSn − Sn = aqn − a Sn ( q − 1 ) = a ( qn − 1 ) , On obtient donc : Sn = a ( qn − 1 ) / ( q − 1 ) car q ≠ 1 . Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance niéme de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1. La formule est donc : Sn = a (1 − qn ) / (1 − q ) ou encore :
Pourcentage Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Cet article concerne la notion mathématique du pourcentage. Pour le signe pourcent, voir %. signe pour cent% D'usage très fréquent dans le monde actuel puisqu'on le rencontre en statistique comme en économie, le pourcentage est une notion qui peut induire de nombreuses erreurs de raisonnement. Notation[modifier | modifier le code] La notation des pourcentages semble tirer son origine de l'italien. Le p s'est ensuite perdu et la barre est devenue oblique. Le signe « % » en typographie française doit être précédé d'une espace fine insécable et suivi d'une espace forte[2],[3]. Dans d'autres langues, et notamment en anglais, le signe est collé au chiffre. Calculs élémentaires[modifier | modifier le code] On compare une valeur particulière à une valeur de référence, et on cherche à déterminer ce que vaudrait cette valeur particulière si la valeur de référence était ramenée à 100 tout en respectant les proportions. soit ce qui conduit à car . . , d'où .
Le nombre d'or (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
Proportionnalité Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant par une même constante non nulle. Dans le cas où l'on multiplie, cette constante est appelée coefficient de proportionnalité. Exemple : si, dans un magasin, le prix des pommes est de 2 euros le kg, il y a proportionnalité entre la somme S à payer et le poids P de pommes achetées, ce que l'on note parfois [1]: Le coefficient de proportionnalité est 2. Pour 1 kg, on doit payer 2 euros.Pour 3 kg, on doit payer 6 euros.Pour 1,5 kg, on doit payer 3 euros. On remarque que le quotient des deux quantités est constant et est égal au coefficient de proportionnalité. Les Anciens comme Euclide auraient écrit que 2 est à 1 comme 6 est à 3 ou comme 3 est à 1,5. Tableau de proportionnalité[modifier | modifier le code] C'est un tableau où l'une des lignes est proportionnelle à l'autre. 3 + 1,5 = 4,5 et 6 + 3 = 9 donc3 × 2 = 6 et 6 × 2 = 12 donc et
suite de Fibonacci et le nombre d'or calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démontration que (un+1 / un) tend vers le nombre d'or La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Appelons (un) la suite de Fibonacci. on a alors un+2 = un+1 + un. Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents. La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique. En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. Calcul des termes de la suite Fibonacci En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. Initialisation Pour n = 2 et
Nombre d'or Le nombre d'or (ou section dorée, proportion dorée, ou encore divine proportion) est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b), ce qui s'écrit : avec Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ ou (phi), et il est lié à l'angle d'or. Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation φ2 = φ + 1. L'histoire de cette proportion commence à une période de l'Antiquité qui n'est pas connue avec certitude ; la première mention connue de la division en extrême et moyenne raison apparaît dans les Éléments d'Euclide. Le nombre d'or possède une première définition d'origine géométrique, fondée sur la notion de proportion : .