Agrégation interne de Mathématiques 2006 : leçons détaillées et exercices corrigés pour l'oral

Transformation de Laplace ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUESà l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges La transformation de Laplace intervient dans la résolution d'équations et de systèmes différentiels et tout particulièrement aujourd'hui en électricité, électronique, théorie de la chaleur, théorie du signal, ... : Si f est une fonction numérique nulle en dehors de R+, sa transformée de Laplace est la fonction qui à tout nombre réel ou complexe p associe : Cette transformée peut ne pas exister (divergence de l'intégrale) au voisinage de l'infini. Remarquer que si p est imaginaire pur, on retrouve la transformée de Fourier d'une fonction f nulle en dehors de R+. La résolution d'une équation différentielle F(y,y',y",...) = 0 consistera alors à savoir inverser la transformée de Laplace de y (retrouver f connaissant Lf), ce qui s'avère souvent plus simple que la résolution de l'équation différentielle initiale (usage de tables). calcul algébrique. | f(t) |

Leonhard Euler Né à Bâle d'un père pasteur, Leonhard, esprit brillant étudia les lettres, la théologie et la médecine et semblait, à 17 ans, voué aux ordres religieux. Les Bernoulli étaient des amis de la famille et il fut l'élève de Jean Bernoulli qui persuada Euler père de laisser son fils s'orienter vers les mathématiques. A 18 ans, il se faisait à l'Académie des sciences de Paris par divers mémoires comme ceux sur la théorie des marées ou la propagation du son. Introduits par les Bernoulli, il s'installa à Saint-Pétersbourg (1727) auprès de Pierre Ier le Grand et remplaça Daniel Bernoulli (1733) à l'Académie des sciences pour la physique et les mathématiques. Dès 1735, à la suite d'une congestion cérébrale, Euler perd l'œil droit. Appelé à Berlin (1741) par Frédéric II, roi de Prusse, il présida l'Académie des sciences jusqu'en 1766 (c'est Lagrange qui lui succédera). Justifier que : ax + x' = ax ex = 1 + x + x2/2! Pour x = 1, on obtient e = 2,7182818284590452353... D'autres exemples ? congruences