La logique et ses paradoxes La logique et ses paradoxes Yves SAGNIER La logique est pour certains le soubassement indispensable des mathématiques dont elle fait partie, pour d'autres, ce sont les mathématiques qui sont un sous-ensemble de la logique. En tout cas, au cours de l'histoire des mathématiques, les deux ont toujours été étroitement liées. On parle parfois de « logique euclidienne » alors qu'Euclide ne s'est occupé que de géométrie. En fait, pendant longtemps, on s'occupait de mathématiques en utilisant des raisonnements logiques implicites qu'on ne citait plus tant ils paraissaient évidents. C'est au XIXème et au XXème siècle que l'imbrication logique-mathématique a réellement été mise en exergue, spécialement à l'occasion de l'émergence de paradoxes dont on ne savait trop à laquelle des deux les attribuer. C'est Boole qui le premier a échafaudé un édifice logique dérivé de l'algèbre. Ces opérateurs définissent une connexion généralement intuitive que l'on comprend sans autre explication. (p˄(p=>q)) => q
Podcast des Maths à la Philo Maison Poincaré | EP 04 – Olivier Druet Ancien élève de l’Ecole Normale Supérieure, Olivier Druet a 43 ans. Il est aujourd’hui directeur de recherche au CNRS, rattaché à l’Institut Camille Jordan situé à Lyon. Ses travaux de recherche portent sur les équations aux dérivées partielles, la géométrie riemannienne, et l’analyse non-linéaire sur les variétés. Il est aussi le directeur de la Maison des Mathématiques et de l’Informatique de Lyon. Passionné par la diffusion et la transmission de la culture scientifique, il est par ailleurs le commissaire de l’exposition « Sous la surface, les maths », conçue par l’Institut Henri Poincaré, et d’abord présentée au Musée des Arts et Métiers, puis à la Maison des Mathématiques et de l’Informatique de Lyon. Après avoir retracé le parcours de ce chercheur passionné autant par les mathématiques que par la philosophie, et plus particulièrement l’épistémologie, nous évoquons la pensée de Gaston Bachelard, mais aussi celle, politisée, du mathématicien et philosophe Gilles Châtelet.
Introduction à la logique mathématique Nous avons maintenant tous les outils en main pour réaliser des raisonnements mathématiques complets. Un raisonnement permet d'établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales admises (ou précédemment démontrées) en suivant les règles de la logique. Nous allons dans cette dernière partie détailler quatre "types" de raisonnement, quatre "méthodes" pour démontrer une proposition : Trouver un exemple ou un contre-exempleDémontrer la contraposéeRaisonner par l'absurdeRaisonner par récurrence Ces différentes formes de raisonnements devront s'appliquer dans des cas bien particuliers. Exemple et contre exemple Pour montrer qu'une proposition de la forme est vraie, on cherche un x pour lequel P(x) est vraie. Exercice 11 : P : « » Démontrez que P est vraie. Correction :Soient x = 5, y = 4, z = 3. x, y et z vérifient x² = y² + z² (car 25 = 16 + 9) Donc la proposition P est vraie. Pour montrer qu'une proposition de la forme est fausse, on montre que sa négation) est vraie.
Programme de terminale Introduction à la logique mathématique Polycopié première partie. (Notes des années précédentes susceptibles d'être modifiées.)TD : fiche 1, fiche 2, fiche 3. Les notes du cours Logique et théorie des ensembles de Patrick Dehornoy fournissent une bonne ressource bibliographique pour cette partie. Autre référence bibliographique : Jean-Louis Krivine, Théorie des ensemble, Cassini 2007. Polycopié seconde partie. (Notes des années précédentes susceptibles d'être modifiées.)TD : fiche 4, fiche 5, fiche 6.Annales: Examen 2018 (Un corrigé), Examen 2017.Références bibliographiques : - B. Mathématiques et philosophie font-elles bon ménage ? Contrairement à ce que l’on répète trop souvent dans le sillage d’un certain Martin Heidegger, la science pense. Elle pense au sens où elle génère de la pensée, et elle pense aussi au sens où elle engendre du pensable. Cette affirmation vaut également, bien sûr, pour les mathématiques, même si on dit d’elles qu’elles sont une science spéciale, une science pas comme les autres, peut-être même autre chose qu’une science. Dans cette "Conversation scientifique" autour des mathématiques, le philosophe Alain Badiou se place comme un "amateur instruit". Il évoque parfois que "la pensée est asséchée" devant la complexité des mathématiques mais "quand on arrive à surmonter cet état, il y a réellement une joie". Il y a quand même en mathématiques des conclusions qui pendant longtemps paraissent étranges ou paradoxales. [...] Concernant la philosophie, il dit avoir constaté qu'elle était " toujours un langage bâtard ou impur" qui hésite entre la poésie et le langage mathématique.
Logique avec Python Qu’est-ce qu’un booléen ? Voir la page sur Wikipédia C’est une variable qui ne peux prendre que deux valeurs : VRAI ou FAUX.En Python, le type d’une telle variable est bool, les deux valeurs possibles sont True ou False. Expressions booléennes Une expression booléenne a deux valeurs possibles : True ou False.Python attribue à une expression booléenne la valeur False si c’est : la constante False la constante None une séquence ou une collection vide une donnée numérique de valeur 0. >>> type(False)<class 'bool'>>>> type(True)<class 'bool'>>>> FalseFalse>>> bool(None)False>>> bool(' ')True>>> bool('')False>>> bool(0)False>>> bool(156.87)True Opérateurs relationnels ou de comparaison Ce sont les opérateurs == , ! * Illustration pour x = 7 et y = 17 Cela donne dans le shell de Python : >>> x=7>>> y=17>>> x==yFalse>>> x! * Illustration avec deux chaînes de caractères >>>a='encyclopédie1'>>>b='encyclopédie2'>>>a==bFalse>>>len(a)13>>>a[:12]==b[:12]True Exercices Python 2/ Écrire un programme qui dira si
L'infini existe-t-il ? Même si regarder un ciel étoilé en donne une idée, l’infini n’est pas une notion physique mais un idéal mathématique… utile dans les calculs. Les mathématiciens distinguent deux notions, dont seule la première peut avoir un sens dans la réalité. Quelles sont les notions d'infini ? L’infini potentiel La première notion d’infini est l'infini potentiel. L’infini actuel Le véritable infini, celui que refusent les physiciens, se nomme l'infini actuel. Partage d’une tarte en coupant en deux, puis le reste en deux, etc. à l’infini. © Hervé Lehning Ce partage géométrique montre que : S = 1. Conclusion La réponse à la question posée sur l'existence de l'infini dépend donc du sens qu'on donne au mot « exister ». En savoir plus sur Hervé Lehning Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Acheter le livre Cliquez pour acheter le livre À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet paru en 2012 chez Ixelles.
Paradoxes mathématiques Les chroniques suivantes ont pour thèmes les paradoxes mathématiques. Elles illustraient les programmes d'interrogations de l'année 2002-2003. Les paradoxes sémantiques Les paradoxes de logique mathématique et de théorie des ensembles Les paradoxes sur la notion d'infini Les paradoxes de la théorie de la mesure Les paradoxes des probabilités et des statistiques Les paradoxes sur les nombres Un paradoxe "physique" Le paradoxe de Langevin.