La beauté de la multiplication Question : faut-il être fou pour parler d'arithmétique modulaire à un collégien ?Réponse : non ! On l'utilise même tous les jours en regardant l'heure... L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose.Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique (des minutes) de l’horloge. Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ». Pourquoi congru ? Pour lire la sublime biographie de Gauss, c'est dans un autre article : cliquer ici. Vous comprenez maintenant, je l’espère, les congruences suivantes : 5 ≡ 2 (mod. 3) ; 1985 ≡ 5 (mod. 10) ; 20 ≡ 8 (mod. 12). L’arithmétique modulaire est enseignée en Terminale Scientifique, pour ceux qui choisissent la spécialité mathématiques.Autant dire à des années de ce que pourrait comprendre un élève de collège…
Biographie de Henri Cartan Henri Cartan est un des plus grands mathématiciens français du XXè siècle, l'un des plus influents aussi. Fils d'un autre brillant mathématicien, Elie Cartan, il intègre l'Ecole Normale Supérieure en 1923. Il obtient son doctorat en 1928, sous la direction de Paul Montel. Après une année d'enseignement dans un lycée à Caen, il rejoint l'université de Lille, puis, en 1931, celle de Strasbourg. Un temps délocalisé à Clermont-Ferrand, où l'université alsacienne s'est réfugiée pendant la guerre, il devient professeur à la Sorbonne en 1940, où il est chargé jusqu'en 1965 de l'enseignement des mathématiques à l'Ecole Normale Supérieure. L'oeuvre mathématique de Cartan concerne essentiellement trois domaines : Henri Cartan est également une figure mathématique importante du XXè siècle en raison de l'influence qu'il eut. Henri Cartan était aussi un homme engagé. Un très beau film d'entretiens, Henri Cartan, une vie de mathématicien, a été réalisé par Isabelle Broué en 1995.
Epicycles de Ptolémée Epicycles de Ptolémée Pour les grecs depuis Aristote (−385, −322) la Terre était le centre du Monde. Seul Aristarque de Samos (−310, −230) avait envisagé un système héliocentrique. La Terre est le centre du Monde et seuls sont possibles les mouvements rectilignes et circulaires uniformes étaient deux dogmes. Mais ces dogmes posaient aux observateurs du ciel un problème majeur : Comment expliquer les boucles des planètes ? Ptolémée a eu l'idée des épicycles. Utilisation : La partie gauche du schéma représente dans le système héliocentrique le mouvement de la Terre (en bleu) et d'une planète hypothétique (en jaune) qui mettrait exactement trois années terrestre pour parcourir son orbite. Le slider rouge permet de modifier le rapport des vitesses de rotation entre l'épicycle et le déférent. Le slider vert permet de modifier le rayon de l'épicycle. Le bouton [Départ] permet de lancer l'animation la pause et la reprise de l'animation..
Biographie de Élie Cartan Élie Cartan est un mathématicien français né le 9 avril 1869 à Dolomieu, près de Chambéry. Issu d'une famille modeste (son père est forgeron), ses talents sont heureusement remarqués par un jeune inspecteur cantonal, Antonin Dubost, qui lui-même deviendra plus tard Président du Sénat. Ainsi, Cartan obtient une bourse pour poursuivre ses études au lycée, puis à l'Ecole Normale Supérieure où il entre en 1888. Il soutient sa thèse en 1894, et les postes successifs qu'il occupe l'emmènent aux Universités de Montpellier, de Lyon, de Nancy, puis à la Sorbonne à compter de 1909. Les travaux d'Élie Cartan portent sur l'interaction entre algèbre, géométrie et analyse. Dans la thèse, il classifie les algèbres de Lie simples sur le corps des complexes. L'oeuvre d'Élie Cartan est particulièrement novatrice, et elle ne fut reconnue qu'assez tardivement. La fin de sa vie est malheureusement marquée par le décès de l'un de ses fils, résistant déporté en Allemagne.
- Cours de mathématiques supérieures Grâce à ses dons exceptionnels remarqués dès l'école primaire, Élie Cartan, né dans une famille très pauvre, eut la chance de pouvoir faire des études jusqu'à l'École Normale Supérieure de Paris où il obtient son doctorat en 1894, puis devient professeur dans les universités de Montpellier, Lyon , Nancy , la Sorbonne, l'École Normale Supérieure (rue d'Ulm) et enfin à l' École Supérieure de Physique et Chimie Industrielle de la ville de Paris. Il est nommé en 1931 à l'académie des sciences. Le travail de Cartan est centré sur les groupes et algèbres de Lie. Sa thèse de doctorat complète les travaux de Killing et donne une classification des algèbres de Lie semi-simples sur les réels et les complexes en collaboration avec Hermann Weyl. Son talent de géomètre lui permet de décrire de manière explicite les 4 familles d'algèbres simples ainsi que les 5 algèbres exceptionnelles. Autres mathématiciens:
Biographie de Gaspard Coriolis, mathématicien Gaspard Coriolis Portrait de Gaspard Coriolis, mathématicien Gaspard Coriolis est l'un des 72 savants dont le nom est inscrit sur le premier étage de la tour Eiffel. Il est le 13e, sur la face tournée vers l'Est. Gaspard-Gustave de Coriolis, mathématicien, est né à Paris en 1792. Coriolis a fait de belles découvertes dans le domaine de la théorie et de la pratique. Coriolis a été, avec le général Poncelet, un des réformateurs de l'enseignement de la mécanique rationnelle; ce sont leurs méthodes qui ont conduit à une bonne pratique des machines industrielles. En 1842, peu de temps avant de succomber, Coriolis avait publié son célèbre Traité de la mécanique des corps solides et du calcul de l'effet des machines. D'une santé extrêmement chancelante, quotidiennement il devait, comme il le disait, résoudre en même temps que ses problèmes mathématiques celui de prolonger sa vie. Le nom de Coriolis a été donné, seulement en 1890, à une des rues de Paris, sur la rive droite de la Seine.
Géométrie des rencontres (Coriolis) « Sur la théorie des moments considérés comme analyse des rencontres de lignes droites » : tel est le titre de l’article de 1835 de Coriolis. Sommes-nous de nos jours capables de comprendre un tel titre ? – il s’agit en fait d’une démarche peu habituelle : démontrer un résultat de géométrie (la concourance de droites) en utilisant la statique (forces et moments)… J’avoue pour ma part avoir eu une certaine difficulté, à l’occasion de travaux sur l’œuvre de Coriolis, à bien m’imprégner de ses deux articles sur les moments. L’enjeu pour vous et moi sera de comprendre ces deux articles (1819 et 1835), si concis et singuliers de Coriolis, à la lumière des méthodes et des notations modernes – celles-ci sont là pour nous rassurer, pour nous conforter dans l’idée que nous avons bien compris sinon démontré le résultat. « La géométrie de la règle » Donnons d’abord le sujet brut (tel qu’il apparaît dans l’article de 1819) – on pourrait même dire dans toute sa brutalité. Au commencement de 1819 M.
Cauchy, une nouvelle conception du calcul intégral Augustin Louis Cauchy (1789-1857) publia deux livres importants sur le calcul différentiel et intégral dans les années 1820 : le Cours d’analyse en 1821 et le Résumé des Leçons données à l’École Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal en 1823. Le premier est un cours préliminaire au calcul différentiel et intégral (calcul infinitésimal) dans lequel Cauchy présente les définitions de fonction, de continuité, de limite « intuitive » et de convergence de séries. En fait, il y introduit une nouvelle notion de limite qui lui permet de définir la continuité d’une fonction, de résoudre le problème des infinitésimaux (ces quantités qui étaient parfois considérées comme nulles, parfois comme infiniment petites) et de présenter la première définition de la convergence d’une série qui est indépendante des critères de convergence : une série est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles converge. (1) x1 – x0, x2 – x1, x3 – x2, …, X – xn-1, qui seront tous de même signe.
Cantor et les infinis En 1874 paraît au Journal de Crelle une note de quatre pages où Georg Cantor, alors âgé de vingt-neuf ans et jeune professeur à l’université de Halle, établit la dénombrabilité de l’ensemble des nombres algébriques et la non-dénombrablité de l’ensemble des nombres réels. Cet article est révolutionnaire car, pour la première fois, l’infini est considéré non plus comme une limite inatteignable mais comme un possible objet d’investigation. L’héritage de ce travail est extraordinaire : non seulement il marque la naissance de la théorie des ensembles — en fait une théorie de l’infini — mais il contient déjà en germe le problème du continu qui a occupé toute la fin de la vie de Cantor et a été et continue d’être le moteur du développement de cette théorie. Un temps objet d’une fascination déraisonnable reposant sur un malentendu, celle-ci est aujourd’hui largement méconnue, alors même qu’apparaissent les premiers signes d’une possible résolution du problème du continu posé par Cantor. 2. 4.
Sur la résolution numérique des systèmes d'équations linéaires Officier de l’artillerie, polytechnicien (X1895), André-Louis Cholesky est à la fois confronté à la réalité du terrain (et même du front où il succombera en 1918) et exigeant dans ses ambitions théoriques de formalisation. Ainsi, lorsque le devoir l’appelle à divers travaux géodésiques en France et à l’étranger, il prend le temps de rédiger un texte pour détailler la méthode (on ne parle pas encore d’algorithme) qu’il vient de mettre au point pour simplifier les calculs. C’est ce manuscrit (daté de 1910 mais resté dans les documents familiaux jusqu’en 2005) qui nous permet de redécouvrir ses travaux (1). Si l’essentiel de la méthode nous était déjà parvenu, ce texte (dans une version prête pour la publication), nous éclaire sur les ambitions théoriques et pratiques de Cholesky au-delà du simple résultat. Figure 1. André-Louis Cholesky en 1917 Le paragraphe introductif nous rappelle la nécessité du traitement des « données expérimentales ».