Suite de Fibonacci
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? » Cette suite est fortement liée au nombre d'or, φ (phi). Ce nombre intervient dans l'expression du terme général de la suite. Croissance de population des lapins selon une suite de Fibonacci Présentation mathématique[modifier | modifier le code] Formule de récurrence[modifier | modifier le code] Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le -ième terme correspond au nombre de paires de lapins au -ème mois. Notons le nombre de couples de lapins au début du mois . Plaçons-nous maintenant au mois désigne la somme des couples de lapins au mois et où
L'ANTIGRAVITE LE REVE DEVIENT POSSIBLE
Le nombre d'or
L' histoire ... Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture.
somme des termes d'une suite géométrique
Soit Sn la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0. La somme Sn s' écrit donc : Sn = a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1 . Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons qSn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn . On obtient ensuite en faisant la différence entre qSn et Sn : qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn − (a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn−1 − ( aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) − a + aqn qSn − Sn = aqn − a Sn ( q − 1 ) = a ( qn − 1 ) , On obtient donc : Sn = a ( qn − 1 ) / ( q − 1 ) car q ≠ 1 . Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance niéme de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1. La formule est donc : Sn = a (1 − qn ) / (1 − q ) ou encore :
40 cartes qui changeront votre vision du monde avec des informations étonnantes
Finies les leçons de géographie basées sur le même et unique planisphère ! Redécouvrez notre monde à travers ces 40 cartes pas comme les autres que nous vous avons sélectionnées. Nous avons chacun nos propres techniques d’apprentissage et de compréhension dont fait notamment partie la mémoire visuelle. Ainsi, certaines données et informations prendront vie à travers cette série de cartes créatives et colorées, donnant de ce fait un sens au monde dans lequel vous vivez. 1. Source : Reddit La Pangée était le continent unique qui a existé de l’aire paléolithique à l’aire mésopotamienne et qui commencait à se détacher petit à petit il y a plus de 200 millions d’années. 2. Source : Wikimedia Commons 3. Source : Google 4. Source : The Telegraph 5. Source : Business Management EU En rouge, les pays où McDonald’s est implanté et bleu, ceux où la firme n’est pas présente / Le nombre de restaurants McDonald par pays / Les prix les plus élevés pour un burger McDonald’s. 6. Source : Reddit 6. 7. 8. 9. 10.
suite de Fibonacci et le nombre d'or
calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démontration que (un+1 / un) tend vers le nombre d'or La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Appelons (un) la suite de Fibonacci. on a alors un+2 = un+1 + un. Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents. La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique. En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. Calcul des termes de la suite Fibonacci En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. Initialisation Pour n = 2 et
Nouvelle hypothèse sur l'Atlantide
Atlantide: nouvelle hypothèse sur l'Atlantide Une hypothèse récente, avancée par le journaliste italien Sergio Frau, remet en question la localisation même des célèbres colonnes d'Hercule, délimitant le monde connu des anciens grecs et au-delà desquelles se trouvait la mystérieuse Atlantide. Après plus de trois années de recherches bibliographiques, il est arrivé à la conclusion que c'est le géographe grec Eratosthène (vers 276-194 avant Jésus-Christ), célèbre pour avoir mesuré la circonférence de la Terre au moyen des ombres projetées par deux obélisques, qui a, le premier, placé les colonnes d'Héraklès au niveau du détroit de Gibraltar. C'est à dire deux cents ans après la rédaction du "Timée" et du "Critias" par Platon ! Selon Sergio Frau, les colonnes d'Hercule citées par le philosophe correspondraient plutôt au détroit...de Sicile, faisant ainsi de la Sardaigne la nouvelle candidate pour l'Atlantide ! Platon a parlé du continent de l'Atlantide ainsi qu'Hérodote.
Le nombre d'or
(Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
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