Paradoxes mathématiques Les chroniques suivantes ont pour thèmes les paradoxes mathématiques. Elles illustraient les programmes d'interrogations de l'année 2002-2003. Les paradoxes sémantiques Les paradoxes de logique mathématique et de théorie des ensembles Les paradoxes sur la notion d'infini Les paradoxes de la théorie de la mesure Les paradoxes des probabilités et des statistiques Les paradoxes sur les nombres Un paradoxe "physique" Le paradoxe de Langevin.
Programmation Python - Une brève introduction Avant-propos Ce support de cours a pour objectif de vous introduire à la programmation Python, en se basant principalement sur des exemples et partant du principe que vous connaissez déjà d'autre(s) langage(s) de programmation. Nous ferons parfois quelques parallèles avec MATLAB et GNU Octave, langages généralement bien connus des ingénieurs. Nous avons résolument opté, dans ce support de cours, pour la version 3 de Python. Lorsque des différences importantes apparaissent entre Python v2 et v3, nous les signalons avec ce symbole Avec la version 3 de Python, apparue en 2008, la fondation Python a en effet décidé de gommer certaines imperfections de jeunesse du langage. Nous ferons usage des conventions de notation suivantes : Ce support de cours, qui est sous licence Creative Commons BY-SA, est accessible en ligne à l'adresse . . Historique et caractéristiques du langage Python Principales caractéristiques du langage Python : Quelques références
Lois de Morgan ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Si A et B sont deux propositions susceptibles d'être vraies ou fausses, notons nonA (resp. nonB) la négation de A (resp. de B). On nomme lois de Morgan, les deux lois usuelles de logique propositionnelle : non (A ou B) = (nonA) et (nonB) nier A ou B, c'est nier A et nier B (ni A ni B) dire que x = ±1 est faux c'est dire x ≠ 1 et x ≠ -1 non (A et B) = (nonA) ou (nonB) nier la coexistence de A et de B, c'est nier A ou nier B dire que x est divisible par 2 et par 3 est faux, c'est dire que x est non divisible par 2 ou que x est non divisible par 3 i Les égalités "logiques"ci-dessus, utilisées par ailleurs dans cette page sont en fait des équivalences logiques : au lieu de « égale » on conviendra de lire « revient à dire ». » Aristote , Frege Diagramme de Venn (représentation d'Euler) : » »Cantor L'ellipse A (resp. ∗∗∗1. © Serge Mehl - www.chronomath.com
Exercices de base avec Python Correction d’exercices Python proposés par Gérard Swinnen dans son livre « Apprendre à programmer avec Python ». Ce livre est téléchargeable au format PDF ici.La correction est proposée pour Python 2.7 et est évidemment non-exhaustive. Il existe une foule de sites Internet sur le langage Python et lorsque l’on débute en Python, il est bien difficile de trouver des sites qui permettent au néophyte une utilisation concrète et immédiate de scripts Python. J’ai au fil de mes surfs découvert ce livre qui est d’une utilisation totalement immédiate et extrêmement pratique. La plupart des scripts de cette page sont inspirés de ce livre.Pour vous exercer et apprendre à programmer en Python, il vous suffit d’ouvrir un terminal (sous Mac ou Linux) ou un environnement qui permet d’écrire des scripts Python sous Windows, et d’effectuer des copier-coller des scripts proposés après avoir tapé > python dans votre terminal. Python, les bases : lecture de code > Que font les programmes suivants ? etc.
La logique d'Aristote ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Outre la notion de syllogisme, on doit à Aristote les acceptions actuelles du vocabulaire (cadre jaune) lié au raisonnement déductif (on parle aussi de raisonnement hypothético-déductif), exposées dans les Topiques et dans ses traités sur la logique, Les Analytiques, La métaphysique : C'est chez Aristote que l'on trouve pour la première fois un langage propositionnel du type : si P alors Q et des lettres utilisées pour exprimer des propositions non explicitées. Une proposition est une affirmation (énonciation) du type « A est B » : A est le sujet (ce dont on parle) et B le prédicat (du latin praedicare = proclamer, qui a donné prêcher), attribut qui peut être affirmé ou nié. « Tout homme est mortel », « Cet enfant a les yeux bleus », « 124 n'est pas multiple de 3 » sont des propositions. 1. 2. 3. 4. non(P ∧ nonP) 5. P ∨nonP 6. non(nonA) est A : 7a. 7b.
Apprendre à utiliser des listes en python : list array tableaux en python Les listes (ou list / array ) en python sont une variable dans laquelle on peut mettre plusieurs variables. Créer une liste en python Pour créer une liste , rien de plus simple: >>> liste = [] Vous pouvez voir le contenu de la liste en l'appelant comme ceci: >>> liste<type 'list'> Ajouter une valeur à une liste python Vous pouvez ajouter les valeurs que vous voulez lors de la création de la liste python : >>> liste = [1,2,3]>>> liste [1, 2, 3] Ou les ajouter après la création de la liste avec la méthode append (qui signifie "ajouter" en anglais): >>> liste = []>>> liste[]>>> liste.append(1)>>> liste[1]>>> liste.append("ok")>>> liste[1, 'ok'] On voit qu'il est possible de mélanger dans une même liste des variables de type différent. Afficher un item d'une liste Pour lire une liste, on peut demander à voir l'index de la valeur qui nous intéresse: >>> liste = ["a","d","m"]>>> liste[0]'a'>>> liste[2]'m' Le premier item commence toujours avec l'index 0. Supprimer une entrée avec un index
Introduction à la logique mathématique Polycopié première partie. (Notes des années précédentes susceptibles d'être modifiées.)TD : fiche 1, fiche 2, fiche 3. Les notes du cours Logique et théorie des ensembles de Patrick Dehornoy fournissent une bonne ressource bibliographique pour cette partie. Autre référence bibliographique : Jean-Louis Krivine, Théorie des ensemble, Cassini 2007. Polycopié seconde partie. (Notes des années précédentes susceptibles d'être modifiées.)TD : fiche 4, fiche 5, fiche 6.Annales: Examen 2018 (Un corrigé), Examen 2017.Références bibliographiques : - B.
Sorting Algorithm Animations | Toptal Algorithms in Java, Parts 1-4, 3rd edition by Robert Sedgewick. Addison Wesley, 2003. Quicksort is Optimal by Robert Sedgewick and Jon Bentley, Knuthfest, Stanford University, January, 2002. Dual Pivot Quicksort: Code by Discussion. Bubble-sort with Hungarian (“Csángó”) folk dance YouTube video, created at Sapientia University, Tirgu Mures (Marosvásárhely), Romania. Select-sort with Gypsy folk dance YouTube video, created at Sapientia University, Tirgu Mures (Marosvásárhely), Romania. Sorting Out Sorting, Ronald M. Lois de De Morgan Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Représentation graphique des lois de De Morgan. Énoncé en français[modifier | modifier le code] La négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A et B) » est identique à « (non A) ou (non B) ». La négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A ou B) » est identique à « (non A) et (non B) ». Énoncé mathématique[modifier | modifier le code] Sachant que la conjonction s'exprime par le signe : , la disjonction s'exprime par le signe : et la négation d'une formule s'écrit De ces quatre implications valides en logique classique, trois sont valides en logique intuitionniste, mais pas : Justification[modifier | modifier le code] Pour justifier ces formules, on peut par exemple, utiliser la méthode sémantique des tables de vérité. et Vrai au rang n=2Si vrai au rang n
ALGORITHMES DE TRI On désigne par "tri" l'opération consistant à ordonner un ensemble d'éléments en fonction de clés sur lesquelles est définie une relation d'ordre. Les algorithmes de tri ont une grande importance pratique. Ils sont fondamentaux dans certains domaines, comme l'informatique de gestion où l'on tri de manière quasi-systématique des données avant de les utiliser. L'étude du tri est également intéressante en elle-même car il s'agit sans doute du domaine de l'algorithmique qui a été le plus étudié et qui a conduit à des résultats remarquables sur la construction d'algorithmes et l'étude de leur complexité. Pour vous donner une idée de la difficulté du problème, je vous propose le petit jeu suivant. Vous ne disposez que d'une balance non étalonnée vous permettant de comparer le poids des tonneaux 2 à 2 et d'étagères pouvant vous servir de stockage intermédiaire. Ce sont exactement les mêmes éléments que ceux dont dispose un ordinateur : une fonction de comparaison et des zones de stockage.
La logique et ses paradoxes La logique et ses paradoxes Yves SAGNIER La logique est pour certains le soubassement indispensable des mathématiques dont elle fait partie, pour d'autres, ce sont les mathématiques qui sont un sous-ensemble de la logique. En tout cas, au cours de l'histoire des mathématiques, les deux ont toujours été étroitement liées. On parle parfois de « logique euclidienne » alors qu'Euclide ne s'est occupé que de géométrie. En fait, pendant longtemps, on s'occupait de mathématiques en utilisant des raisonnements logiques implicites qu'on ne citait plus tant ils paraissaient évidents. C'est au XIXème et au XXème siècle que l'imbrication logique-mathématique a réellement été mise en exergue, spécialement à l'occasion de l'émergence de paradoxes dont on ne savait trop à laquelle des deux les attribuer. C'est Boole qui le premier a échafaudé un édifice logique dérivé de l'algèbre. Ces opérateurs définissent une connexion généralement intuitive que l'on comprend sans autre explication. (p˄(p=>q)) => q