Les tenseurs pour les nuls Update (24/09/2017) : Nouvelle description détaillée et imagée des composantes covariantes et contravariantes (sans formule). Attention : comme d’habitude sur ce blog, l’approche est très exotique, ce n’est probablement pas une bonne méthode pour apprendre à utiliser ces notions rigoureusement, seulement un moyen de leur donner un sens, une interprétation. Si vous êtes ici, c’est que vous n’aimez pas les formules et les calculs compliqués, mais que vous êtes quand même curieux de savoir ce qu’est un tenseur. Quoi qu’on en dise dans la vie quotidienne, la curiosité est une grande qualité en sciences, elle permet de développer ses connaissances et sa compréhension du monde ! On va donc faire un tour rapide de ce concept, de la manière la plus simple possible. Comment calcule-t-on la longueur d’un vecteur ? C’est simple, on utilise Pythagore. (ou −2 mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). Facile. Maintenant on a y≈1.15 et x≈0.42. Composantes covariantes et contravariantes
Le plus grand nombre premier a été découvert ? Le 25 janvier, Dr Curtis Cooper, par l'intermédiaire du projet GIMPS, a découvert M48, le 48e nombre premier de Mersenne. Ce nombre, 257 885 161-1, est donc officiellement aujourd'hui le plus grand nombre premier connu ! Le précédent record (M47, qui possède 12 978 189 chiffres) datait de 2008. Comme tout a déjà été dit sur ce blog à propos des nombres premiers, revenons plutôt aux bases de la base. Ca veut dire quoi, 257 885 161-1 ?C'est le nombre qui vaut 2×2×...×2-1 (où l'on peut compter 57 885 161 fois le nombre 2). Qu'est ce qu'un nombre premier ? Qu'est ce qu'un nombre de Mersenne ? Parmi les nombres de Mersenne, certains sont premiers, d'autres non : M7 = 27-1 = 127 (premier)M8 = 28-1 = 255 (non premier)M9 = 29-1 = 511 (non premier)M10 = 210-1 = 1023 (non premier)M11 = 211-1 = 2047 (non premier)...M57 885 161 = 257 885 161-1 = 58...plein de chiffres…51 (premier) C'est qui, ce Mersenne ? M48 est-il le plus grand nombre premier ? Il sort d'où, ce Cooper ? A quoi ça sert de savoir ça ?
Qu'est-ce qu'un tenseur ? C’est là LE gros avantage des tenseurs : plus besoin de tenir compte des changements de base au cas par cas, on considère seulement un groupe ou une “classe” de changements de base via le tenseur métrique ! Boom. Qu’est-ce qu’un tenseur ? Nous avons enfin tous les outils pour répondre à cette question. Les tenseurs ne sont pas seulement la généralisation du concept de vecteur, matrices et tableaux de nombres à plusieurs dimensions. Ils sont aussi et surtout une généralisation de la notion de forme linéaire. Cette dualité permet aux tenseurs d’être relativement indépendants des changements de base : on définit donc un ensemble de changements de bases qui correspondent à un même tenseur métrique, et l’on pourra alors suivre facilement les répercutions de ces changements sur les tenseurs. La notion de covariance en physique Les physiciens ont deux objectifs : ⋆ Modéliser les lois de la physique sous la forme de relations (équations) qui ne changeront pas lors d’un changement de référentiel. Etc…
nombres premiers Tout nombre non nul possède évidemment deux diviseurs : 1 et lui-même. Il advient que dans le cas de l'unité ces deux diviseurs évidents se confondent. Or certains nombres ne possèdent pas d'autres diviseurs que ces deux diviseurs 'triviaux', on les appelle les nombres 'premiers' , c'est par exemple le cas de 2, 3, 5, etc... Les raisons pour lesquelles on refuse à 1 la qualité de nombre premier ne tiennent pas au fait que c'est le neutre de la multiplication mais plutôt au fait que c'est le seul élément inversible de ℕ. Il résulte de la théorie des anneaux que les éléments inversibles n'ont pas à être pris en compte pour les problèmes de décomposition (factorisation), faute de quoi on ne peut énoncer correctement les théorèmes. On retiendra donc simplement pour le moment que 1 n'est pas premier et qu'on peut prendre pour définition des nombres naturels premiers: Un nombre est dit 'premier' s'il possède exactement 2 diviseurs. Cette suite est infinie. Crible d'Eratosthène
Théorie des graphes Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La théorie des graphes est une théorie informatique et mathématique. Les algorithmes élaborés pour résoudre des problèmes concernant les objets de cette théorie ont de nombreuses applications dans tous les domaines liés à la notion de réseau (réseau social, réseau informatique, télécommunications, etc.) et dans bien d'autres domaines (par exemple génétique) tant le concept de graphe, à peu près équivalent à celui de relation binaire (à ne pas confondre donc avec graphe d'une fonction), est général. De grands théorèmes difficiles, comme le théorème des quatre couleurs, le théorème des graphes parfaits, ou encore le théorème de Robertson-Seymour, ont contribué à asseoir cette matière auprès des mathématiciens, et les questions qu'elle laisse ouvertes, comme la conjecture d'Hadwiger, en font une branche vivace des mathématiques discrètes. Définition de graphe et vocabulaire[modifier | modifier le code] et relie soit vers , soit , tandis que , où . .
Indicatrice d'Euler (totient) ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n : φ(n) = Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1} L'indicateur d'Euler joue un rôle important en arithmétique et tout particulièrement dans l'étude et la distribution des nombres premiers. En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n". Il apparaît, et cela semble bien évident, que si n est premier, alors φ(n) = n - 1, sinon φ(n) < n - 1. Théorème 1 : Si n est premier, φ(np) = np-1(n - 1) pour tout entier naturel p ≥ 1. Théorème 2 : Remarque : Théorème 3 : Théorème 5 : Buffon
Mathenpoche - soutien scolaire en mathématiques Nombres premiers sexy ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUESà l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges A l'instar des nombres premiers jumeaux dont la différence est 2, deux nombres premiers n et p, n > p, sont dits sexy, si n - p = 6 (du latin sex = six, comme sexy, on l'a bien compris...). i Pour info, on parle aussi de nombres premiers cousins lorsque n - p = 4. Par exemple : (7,13), (47,53) sont des couples d'entiers premiers sexy. On remarque que 5, 11, 17, 23, 29 est une suite finie de nombres premiers sexy mais 29 + 6 = 35 n'est pas premier : nous dirons que cette suite est d'ordre 5 ou de longueur 5. la suite 13, 19 est d'ordre 2; il en est de même de 37, 43. ➔ La seule suite de nombres sexy d'ordre 5 est 5, 11, 17, 23, 29 et il n'existe aucune suite de nombres sexy d'ordre supérieur à 5. ♦ Preuve au moyen des congruences : Le seul nombre premier divisible par 5 est 5 lui-même. ♦ Preuve élémentaire : ! ➔ On remarquera que :
Cours de mathématique d'analyse complexe : fonctions holomorphes La définition de la dérivation par rapport à une variable complexe est naturellement formellement identique à la dérivation par rapport à une variable réelle. Nous avons alors, si la fonction est dérivable en et nous disons (abusivement dans le cadre de ce site) que la fonction est "holomorphe" (alors que dans on dit "dérivable") ou "analytique" dans son domaine de définition ou dans un sous-ensemble de celui-ci si elle y est dérivable en chaque point. Remarque: R1. R2. D'une manière équivalente, nous disons que la fonction f est -différentiable en si la limite suivante existe dans Présentons maintenant un théorème central pour l'analyse complexe appelée "théorème de Cauchy-Riemann"! Si la fonction: est -différentiable, en , alors nous avons: qui est un peu l'équivalent du théorème de Schwarz dans vu dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral. Démonstration: Puisque: En choisissant: avec , nous obtenons: et en choisissant: , nous obtenons : Nous avons donc maintenant: Dès lors: Soit: Exemple: et à .
Nombres premiers : des jumeaux, des cousins et... des nombres sexy Petit exercice : recherchez tous les nombres premiers inférieurs à 60. Comment avez-vous procédé ? Peut-être avez-vous testé pour chaque nombre s’il était divisible par un autre nombre que lui-même et 1, en faisant appel aux tables de multiplication ou même en utilisant une calculatrice ? Cela fonctionne, mais c’est long ! Une technique plus rapide est le crible d’Ératosthène. Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199. Au fait, est-on sûr qu’un nombre premier vient après 200 ? Une infinité de premiers La réponse, certaine, est non. À l’exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs. Et à part ça ? On l’ignore. Pour aborder ce problème, une première idée est de dire que nous ne sommes pas allés suffisamment...
Des démonstrations mathématiques en accès libre Vous avez probablement déjà entendu parler de la Khan Academy, cette plateforme virtuelle sur laquelle sont régulièrement mises en ligne des vidéos de cours de soutien dans différentes matières (les mathématiques et les sciences physiques principalement). Des contenus exclusivement en anglais jusqu’ici mais qui, grâce à l’ONG Bibliothèques Sans Frontière (BSF), sont désormais disponibles en français (pour les mathématiques uniquement). Qu’il s’agisse de l’arithmétique ou de la géométrie, le site propose des vidéos pour apprendre ou réviser les mathématiques. Expliquer les nombres négatifs et les valeurs absolus, les aires, les périmètres, le principe du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) et j’en passe, ne sera plus qu’un jeu d’enfant pour vous. Prenons le cas des Aires et périmètres par exemple. La régularité des publications et les nombreuses visualisations de ces ressources confirment d’une certaine manière, leur pertinence et la qualité des vidéos. Niveau : Populaire