Le nombre d'or L'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci Un nombre étonnant, mystérieux et magique pour avoir fait parler de lui depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature, … Il serait une expression d’harmonie et d’esthétique dans les arts bien que certains lui reproche son caractère ésotérique qui cherche absolument à lui trouver une obscure beauté et qui semble y parvenir ! On le note φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Ve siècle avant J.C.) qui participa à la décoration du Parthénon sur l’Acropole à Athènes. Quant à son nom, il a évolué avec le temps. Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445 ; 1517) parle de « Divine proportion », plus tard le physicien Johannes Kepler (1571 ; 1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie ». Alors que pour Léonard de Vinci, ce sera la « section dorée ». On retrouve des traces du nombre d’or bien avant les grecs. est sa valeur exacte. Le rectangle d'or En algèbre
Nombre d'or - ce qu'il faut savoir en bref Étapes de construction 1) Je construis un carré ABCD de 10 carreaux de côté. 2) Je positionne le point milieu M, en bas. 3) Je dessine un cercle de centre M et de rayon MB; il coupe la droite DC en F. 4) Le rectangle ABEF est un rectangle d'or. Mesures et conclusions Je mesure le grand côté DF: 16,2 carreaux Le rapport (ou le quotient) entre les mesures de la longueur et de la largueur est Si je calcule le rapport pour le rectangle BEFC, je trouve Soit, à peu près la même valeur. Ce nouveau rectangle BEFC est aussi un rectangle d'or. Valeur exacte du nombre d'or Le triangle BCM est rectangle, je peux lui appliquer le théorème de Pythagore: Cette valeur confirme les mesures effectuées sur les deux rectangles. Le nombre d'or L' histoire ... Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture.
Dossier - La suite de Fibonacci et le nombre d'or - Podcast Science Disclaimer : Ouh-la, cet article du tout début de notre site est un peu étrange ! On s’était apparement laissé un peu avoir par la nombre-d’or-mania et, avec quelques années de recul, on est pas extrêmement fier de son contenu. On vous propose donc plutôt d’aller voir ce billet de l’excellent blog Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes intitulé Le plus doré de tous les nombres qui en parle bien mieux que nous le faisons ici. L’équipe de Podcast Science Dossier de Mathieu dans l’épisode #28. La suite de Fibonacci doit son nom au mathématicien italien Leonardo Fibonacci qui a vécut au XIIème et XIIIème siècle. Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence une suite mathématique qui porte désormais son nom. Il suffit de prendre deux nombres de départ. La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. Dans la nature, on retrouve très souvent des motifs basé sur la suite Fibonacci et sur le nombre d’or. Sources:
Le nombre d'or (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
Images des mathématiques Le 2 septembre 2019 - Ecrit par Fernando Corbalán Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré Lire l'article en En 2013, l’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique, publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette édition a été entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ; des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. En 2019, cette collection est de nouveau éditée, présentée par Étienne Ghys et distribuée par L’Obs. Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Extrait du Chapitre 1 « Les choses qui sont dotées de proportions correctes réjouissent les sens ». Un rectangle qui répondrait à ces caractéristiques serait un « rectangle d’or ». Un monde doré Le secret des roses Post-scriptum :
Le nombre d'or Fruits d'Eucalyptus provenant de Galice en Espagne. On trouve des pentagones réguliers, mais aussi des carrés er des triangles équilatéraux. Lien avec l'ensoleillement Cela vient de ce que l'ensoleillement doit être maximum pour toutes les feuilles et on démontre que l'angle de deux feuilles consécutives doit être voisin d'un certain k ème de tour ; les fractions de Fibonacci sont les fractions les plus voisines de k. Les graines dans une fleur de tournesol Ammonite L'enroulement régulier d'une ammonite se fait suivant une spirale logarithmique. La découverte des quasicristaux, de molécules en forme de dodécaèdre (constitué de 12 pentagones), de certains virus ayant cette forme montre que la symétrie d'ordre cinq est assez fréquente dans la nature. " On doit être chez Fibonacci ! voir aussi les liens externes suivants : géométrie dans la nature et aussi une vidéo splendide La nature par les nombres Un Aloés : Aloe polyphylla,
suite de Fibonacci dans la nature Loi Les bourgeons tenteraient de disposer du maximum de lumière et de place. Le premier se place. Le second se positionne à un peu plus de 120°, en fait: Et les suivants tentent de conserver cet espacement de 137,5°. Voir Méristème apical Tableau Illustration Voilà, le sixième qui se trouve un peu à l'ombre du premier pétale. Moins de 50° pour se loger (32,5°). Est-ce la bonne raison ? C'est en tout cas ce que l'on peut lire dans quelques ouvrages sur le sujet. De nombreuses simulations sont faites pour retrouver à partir de telles hypothèses les dispositions en spirale des tournesols, des feuilles sur les tiges, des dessins du chou-fleur … Vocabulaire Foliation ou Phyllotaxie: disposition des feuilles sur la tige. Phyllotaxis: anglais pour foliation, leaf arrangement.
Nombre d'or et art : mythe ou réalité ? Juin 2006 Depuis l'Antiquité, artistes et philosophes croient à l'existence d'une proportion privilégiée permettant d'obtenir harmonie et beauté. C'est à Euclide que l'on doit les premières traces écrites du fameux nombre d'or. Il vaut (1 + v¬5)/2, soit environ 1,6. Pourquoi nombre d'or ? L'esthétique du rectangle d'or Pour en avoir le cur net, Fechner un philosophe allemand (1801-1887) soumet à quelques centaines de personnes plusieurs rectangles, chaque personne devant designer le rectangle le plus "attrayant". Seulement plusieurs points viennent mettre en doute ces résultats. Vers 1930, le Roumain Matila Ghyka voit du nombre d'or partout, dans la nature comme dans l'architecture et la peinture. Mais ses mesures sont contestables, approximatives. Par la suite, de nombreux scientifiques ont essayé de valider ou non, cette théorie du nombre d'or. Les secrets du "beau" Impossible donc d'affirmer que le rectangle d'or est le rectangle le plus esthétique.
Leonardo Fibonacci ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges De son vrai nom Léonard de Pise, dit Fibonacci (signifiant "fils de Bonaccio"), Leonardo est le fils d'un administrateur de la ville de Pise. Commerçant et grand voyageur, il parcourut l'Europe et les pays d'orient tout en s'imprégnant des mathématiques de son époque inspirées des mondes grecs, indiens et arabes. Dans son Liber Abaci (Livre de calcul), ou simplement dénommé Abacus, publié en 1202, principalement consacré aux calculs commerciaux, il affine et résout des problèmes algébriques déjà rencontrés dans l'œuvre des mathématiciens persans comme Al Khwarizmi et Abu Kamil, eux-mêmes s'appuyant sur les Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie. Le Liber Abaci est aussi un recueil de "petits" problèmes comme celui, resté célèbre, de la reproduction (prolifération...) des lapins : uo = u1 = 1, et pour tout n : un+2 = un + un+1 Identité de Cassini : !