La beauté de la multiplication Question : faut-il être fou pour parler d'arithmétique modulaire à un collégien ?Réponse : non ! On l'utilise même tous les jours en regardant l'heure... L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose.Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique (des minutes) de l’horloge. Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ». Pourquoi congru ? Pour lire la sublime biographie de Gauss, c'est dans un autre article : cliquer ici. Vous comprenez maintenant, je l’espère, les congruences suivantes : 5 ≡ 2 (mod. 3) ; 1985 ≡ 5 (mod. 10) ; 20 ≡ 8 (mod. 12). L’arithmétique modulaire est enseignée en Terminale Scientifique, pour ceux qui choisissent la spécialité mathématiques.Autant dire à des années de ce que pourrait comprendre un élève de collège…
VISUALISER LA COURBURE Comprendre la notion de courbure sans aucune formule... Du simple rayon de courbure jusqu’au tenseur de Riemann, clé de voûte de la géométrie différentielle. Panorama non exhaustif ! « La géométrie est la science des raisonnements corrects sur des figures incorrectes », George Pólya, How to solve it, Princeton 1957. [1] Certaines notions géométriques semblent très intuitives. Habitués que nous sommes à notre expérience sensorielle, les représentations visuelles nous guident parfois habilement dans la compréhension de concepts géométriques. L’exemple que nous allons développer ici est celui de la courbure. Le mathématicien étudie souvent des objets ou des espaces si complexes que toute représentation visuelle serait une tentative futile, vouée à l’échec. En effet, un cylindre est pour le mathématicien un objet plat ! Pour s’en convaincre, il ne faut pas voir le cylindre comme un objet qui roule si on le pose sur une table. Une représentation fidèle de cet espace est la suivante :
Physique quantique La physique quantique est l'appellation générale d'un ensemble de théories physiques nées au XXe siècle. Avec la relativité, cette branche de la physique marque une rupture comparé à ce qu'on nomme désormais la physique classique, qui regroupe la totalité des théories et principes physiques admis au XIXe siècle, cette dernière ayant échoué dans la description de l'infiniment petit — atomes, particules — et dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique. La physique quantique comprend : Epicycles de Ptolémée Epicycles de Ptolémée Pour les grecs depuis Aristote (−385, −322) la Terre était le centre du Monde. Seul Aristarque de Samos (−310, −230) avait envisagé un système héliocentrique. La Terre est le centre du Monde et seuls sont possibles les mouvements rectilignes et circulaires uniformes étaient deux dogmes. Mais ces dogmes posaient aux observateurs du ciel un problème majeur : Comment expliquer les boucles des planètes ? Ptolémée a eu l'idée des épicycles. Utilisation : La partie gauche du schéma représente dans le système héliocentrique le mouvement de la Terre (en bleu) et d'une planète hypothétique (en jaune) qui mettrait exactement trois années terrestre pour parcourir son orbite. Le slider rouge permet de modifier le rapport des vitesses de rotation entre l'épicycle et le déférent. Le slider vert permet de modifier le rayon de l'épicycle. Le bouton [Départ] permet de lancer l'animation la pause et la reprise de l'animation..
Métrique de l'espace-temps ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUESà l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges ➔ Cette page est consacrée à quelques résultats surprenants de la relativité restreinte. Théorie qui n'est en rien la spécialité de l'auteur de ces lignes. La théorie de la relativité restreinte montre que le temps ne s'écoule pas de façon identique selon les mouvements des observateurs. 1/ Étant donnés deux systèmes de coordonnées en translation uniforme l'un par rapport à l'autre, les lois régissant les changements d'état des systèmes physiques restent les mêmes quel que soit le système de coordonnées auquel ces changements sont rapportés. 2/ la vitesse de la lumière émise par un corps au repos ou en mouvement est constante par rapport à tout référentiel galiléen. Référentiel galiléen et principe d'inertie : » Formules de transformation de Galilée : Hypothèse de Fitzgerald-Lorentz : c (comme célérité), désignant la vitesse de la lumière (299 792 km/s)
Géométrie de l'univers ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUESà l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Justifiée de par le grand nombre de mathématiciens contemporains consacrant leurs recherches à la physique théorique et aux conjectures et modèles qu'elles proposent pour expliquer notre univers, voire son origine, cette page, consacrée à quelques éléments fondamentaux de la physique moderne, n'est en rien la spécialité de l'auteur de ces lignes. Raison pour laquelle aucun développement hasardeux n'y est introduit. Les liens Wikipédia vers les biographies de physiciens sont donnés à titre informatif sans contrôles croisés de leur pertinence. L'expérience de Michelson-Morley : Cette surprenante et déroutante théorie révolutionne la cosmologie et la physique théorique. Albert Abraham Michelson , Edward Morley sur WikipédiA réf. 1e/2 ou bien réf. 1h, p.2-3). réf. 1a, ch.15) et la nature à la fois corpusculaire (photons) et ondulatoire de la lumière. réf.8).
UNE VERSION SIMPLIFIÉE DU THÉORÈME DE GAUSS-BONNET Le théorème de Gauss-Bonnet Un très beau résultat en géométrie différentielle (et un résultat que j’aime beaucoup) est le théorème de Gauss-Bonnet qui s’énonce ainsi : « Pour toute surface fermée, l’intégrale de sa courbure est égale à fois sa caractéristique d’Euler. » Ici nous n’expliquerons pas en détail ce théorème mais en présentons plutôt une version un peu simplifiée dont l’énoncé et la preuve sont élémentaires. Ils peuvent être présentés à des élèves de collège ou de lycée tout en permettant de comprendre au moins l’esprit du théorème original et donc constituent à mes yeux un sujet parfait pour un exposé de vulgarisation mathématique. Dans tout l’article nous exprimerons les angles en radian (pour rappel radian = degrés). Commençons par un petit résultat intermédiaire : pour un polygone à côtés la somme des angles vaut radian. Pour un polygone, la somme des tournants vaut Les coins alias les défauts d’angles. Considérons maintenant un polyèdre en 3 dimensions. Exemples.
Sans Einstein, pas de GPS ! [Quoique…] En ce moment où l’on parle beaucoup de valorisation de la recherche, le grand public peut parfois s’interroger sur les retombées technologiques de certaines recherches très fondamentales. Et pourtant les exemples ne manquent pas, à commencer par la mécanique quantique sans laquelle l’électronique et l’informatique n’existeraient pas ! Mais aujourd’hui, je voudrais évoquer le cas de la théorie de la relativité générale. Car cette théorie – qui nous permet de comprendre ce qu’est un trou noir ou comment s’est déroulé le big-bang – joue un rôle essentiel dans le fonctionnement du GPS. [Edit du 25/04/2013 : Suite à une discussion en commentaire, on m’a fait remarquer que la méthode actuelle de compensation des horloges GPS n’utilise en fait PAS les formules issues des théories d’Einstein. Si le fait que les effets relativistes ‘perturbent’ le GPS est incontestable, il est donc faux de dire que sans la relativité le GPS ne pourrait pas fonctionner. Le principe du GPS La triangulation Le vrai GPS
Einstein et la relativité générale, une histoire singulière / The singular tale of Einstein and General Relativity – Look at sciences La Relativité Générale : tout le monde a un jour entendu parler de cette théorie pensée par Albert Einstein. Une théorie scientifique sur l’espace et sur le temps, qui propose une nouvelle vision de l’Univers. Peu savent qu’elle a été tour à tour encensée, attaquée, rejetée, oubliée puis « redécouverte » dans les années 1960. Cette histoire méconnue nous est racontée par Albert Einstein lui-même (à qui Alexandre Astier prête sa voix), et par certains des scientifiques qui ont validé ou relancé cette théorie. General relativity: everyone has heard about the theory imagined by Albert Einstein. Voir le film en VOD Festivals, sélection Les rendez-vous de l’Histoire, Blois 2017 Utopia, Nantes 2017 Festival du film scientifique de Bruxelles 2016 Clôture de l’année de la lumière à l’Unesco Mexico 2016. voir l'intégralité de la fiche
La Relativité (5) : c’est aussi E=mc² | CARB.ONE 7 décembre 2015 , par Christophe Delattre C’est la plus célèbre équation de la physique : « E=mc² », mais sa signification profonde demeure inconnue, mystérieuse, étrange pour la plupart des personnes. Ce qui sans doute contribue également à son aura. Nous allons essayer ici de la démystifier… ce qui, au final, ne la rendra pas moins belle. Bien au contraire. A ce stade du récit, nous sommes à la fin du mois de septembre 1905. Au tour de la masse et de l’énergie Nous sommes donc le 27 septembre 1905, date d’envoi du dernier article de l’année « miraculeuse ». Même si, dans l’article précédent, on vous a chatouillé les neurones avec le temps et l’espace, vous saviez de quoi il s’agissait. On associe souvent la masse à une grandeur en kg, représentant la quantité de matière que possède un corps (et pas uniquement votre corps de rêve). Quant à l’énergie, il a fallu attendre le XIXe siècle pour lui trouver son actuelle définition. L’équation Oui, ça fait un peu long sur un tee-shirt. Voilà.
Les formes de l’espace – Société astronomique de France Introduction « La description de la forme de notre espace physique à diverses échelles de grandeur (en taille ou en énergie) met en jeu une riche variété de modèles géométriques, chacun dépendant de la théorie physique sous-jacente. La visualisation des distorsions spatio-temporelles engendrées par les champs gravitationnels et quantiques est l’un des grands défis de la physique fondamentale du XXIe siècle. Je discuterai des représentations décrivant la forme de l’espace engendrée par les trous noirs, puis la forme globale de notre univers dans le cadre de la topologie cosmique, pour finir avec quelques indications sur les structures possibles de l’espace-temps à l’échelle quantique. » Topologie et formes de l’Univers La topologie est la branche de la géométrie qui classifie les espaces en fonction de leur forme globale. Mais le plan est de topologie différente, puisque aucune déformation continue ne lui donnera la forme d’une sphère. Gravitation Trous noirs Sagittarius A* Livres :
relativité - une approche La relativité restreinte fut découverte indépendamment par Hendrik Lorentz, Henri Poincaré et Albert Einstein: L'espace et le temps ne sont pas des entités séparées. Ce sont des sous-espaces d'un espace temps à quatre dimensions. Historique Le statut ondulatoire de la lumière est acquis: Travaux de Fresnel et Young Théorie électromagnétique de Maxwell Il lui faut donc un milieu pour se propager: l'éther? Michelson et Morley veulent déterminer par interférométrie la vitesse combinée de la lumière et du mouvement de la Terre. Lumière et Terre Vitesse combinée dans le même sens: c, la vitesse de la lumière dans le sens opposé: c, la même vitesse! Oersted, Ampère et Faraday Ils avaient compris que l'électricité et le magnétisme étaient les manifestions d'un champ unique. Ampère Relations entre courant et aimants. Faraday Découvre l'induction: le courant crée un champ magnétique et réciproquement. Maxwell Construit la théorie complète du champ électromagnétique. Champ unique pour électricité et magnétisme.
Cosmology and Topology An english version of this article is available L'Univers est-il spatialement fermé ou ouvert? Souvent négligée par les chercheurs, l'étude des variantes topologiques d'espace à trois dimensions est susceptible d'apporter des réponses originales à la question de l'extension spatiale. Dans les modèles d'univers "chiffonné", le ciel est le théatre d'une gigantesque illusion d'optique. par Jean-Pierre LuminetDirecteur de Recherches au CNRS Astrophysicien à l'Observatoire de Paris-Meudon. Le cosmos relativiste La relativité générale bouleverse les concepts même de temps et d'espace. Les équations fondamentales de la relativité décrivent la façon dont le contenu matériel de l'univers détermine la géométrie de l'espace-temps. Einstein construisit en 1917 le premier modèle d'univers fondé sur sa théorie de la relativité. Un espace fini et sans bord Les partisans d'un monde fini ont longtemps buté sur une difficulté fondamentale. La relativité générale indique comment calculer cette courbure. B.A.
La gravité selon Einstein: leçons d’une fourmi | Accromath De toutes les forces, la gravité est celle qui nous est la plus familière. Mais la comprenons-nous vraiment? Comment les objets font-ils pour s’attirer à travers l’espace, sans qu’il n’y ait aucun contact direct entre eux? Prenez un fil de longueur L et fixez une extrémité sur la surface d’une table avec un clou. Vivre sur une sphère Sauf que ces règles ne sont pas toujours valides! Elle ne réalise pas qu’elle est sur un ballon! Maintenant, utilisons R pour représenter le rayon du ballon (attention, ceci n’est pas le rayon du cercle tracé). \[C = 2\pi R \sin(L/R),\] au lieu de \(2\pi L\) lorsque la surface était plate. Notre petite fourmi, si elle passe sa vie à la surface du ballon, pourrait en arriver à la conclusion que la circonférence d’un cercle de rayon L est toujours inférieure à \(2\pi L\). La fourmi exploratrice Maintenant, imaginons que notre petite fourmi se retrouve sur la surface d’un trampoline. L’univers à deux dimensions Et qu’en est-il dans notre univers?