Distance (mathématiques) À partir de la définition d'une distance, vue comme une application satisfaisant à certains axiomes, d'autres notions de distance peuvent être définies, comme la distance entre deux parties, ou la distance d'un point à une partie, sans que ces dernières répondent à la définition première d'une distance. On appelle distance sur un ensemble E toute application d définie sur le produit E2 = E×E et à valeurs dans l'ensemble ℝ+ des réels positifs ou nuls, vérifiant les propriétés suivantes[2] : Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique.
Remarques La distance est dite ultramétrique si de plus : Visualisation de quelques distances et semi-distances : distances des points du plan par rapport au point origine et à un autre point de référence[4] Sur un espace vectoriel normé est définie par : En particulier, dans ℝn, on peut définir de plusieurs manières la distance entre deux points, bien qu'elle soit généralement donnée par la distance euclidienne (ou 2-distance). Exemples: non nul). Distance de Manhattan. Distance de Manhattan (chemins rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert.
Définition[modifier | modifier le code] Entre deux points A et B, de coordonnées respectives et , la distance de Manhattan est définie par : Propriétés[modifier | modifier le code] On montre que si l'on oriente le réseau et que l'on définit des déplacements élémentaires positifs et négatifs, la distance de Manhattan est indépendante du chemin parcouru à l'intérieur d'un réseau fini. Références[modifier | modifier le code] Portail de la géométrie.
Espace métrique - frwiki.org. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle. Sommaire Topologie d'un espace métrique Remarques Exemples Produit d'espaces métriques En revanche, un produit non dénombrable d'espaces topologiques non grossiers n'est jamais métrisable, ni même séquentiel.
Disque unité - Wikiwand. 2007 geodis thiel coeurjolly. Cours de Géométrie Discrète d'Edouard Thiel. De la ronditude du cercle. Un cercle euclidien (de centre O, de rayon r) Depuis la nuit des temps (au moins depuis que Grüm a inventé de la roue), nous en sommes tous convaincus : un cercle, c'est rond.
Si on nous en demande plus, on peut dire que ça n'a pas d'angle, ça possède un centre parfaitement au milieu, ça a des rayons biens droits... What else ? Seulement, il n'existe aucun concept assez simple pour ne pas être tordu par l'esprit du mathématicien. Le cercle ne peut évidemment pas y échapper ! La distance euclidienne Un cercle, en fait, c'est quoi ? . Même en oubliant la formule donnant la distance entre deux points du plan, on peut tout de même se rappeler de l'équation du cercle grâce à sa définition : le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tels que : d(O,M)=r Ici, d(O,M) est la distance entre O et M.
Oui, mais... La distance de ManhattanRendez-nous donc à Manhattan. Manhattan, idéalisé, et ses routes en pointillé traits courts interrompus Les cercles de Minkowski Distance euclidienne : Distance de Hausdorff. En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la distance de Hausdorff[1] est un outil topologique qui mesure l’éloignement de deux sous-ensembles d’un espace métrique sous-jacent.
Dans ce domaine, le travail mathématique a un effet direct sur la mise au point d'algorithmes répondant spécifiquement aux besoins de l'industrie. Felix Hausdorff (1868-1942) est le mathématicien à l'origine de la distance portant maintenant son nom. Construction de la distance[modifier | modifier le code] Approche intuitive[modifier | modifier le code] Distance de Hausdorff entre deux ensembles C et D.
L'idée intuitive de Hausdorff est de définir la distance entre deux ensembles C et D comme indiqué sur la figure de droite. C représente le carré rouge et D le disque bleu de même surface et de même centre. On considère le point du carré le plus éloigné du disque, c'est un sommet du carré, à une distance a du disque. Formulations de la distance[modifier | modifier le code] Exemple[modifier | modifier le code] Les unités de mesure. Nombreux sont les systèmes de mesure qui cohabitent dans le monde et l'Histoire. Parfois témoins des rivalités, parfois symboles d'unification, leurs différences et similarités en disent long sur l'histoire de leurs pays.
Les changements d'unités sont très souvent liés à d'importants changements politiques : avènement d'un roi, Révolution, ... Pour faciliter la communication scientifique et le commerce, le nombre de systèmes est aujourd'hui beaucoup plus restreint. De fait, tous les pays du monde sauf la Birmanie, les Etats-Unis et le Liberia ont adopté le système international d'unités (SI) dérivé du système métrique. Cet article va tenter de présenter l'histoire des principales unités de mesure (longueur, poids, masse, température, ...) et d'en expliquer les liens.
I) Les unités de longueur Souvent dans les anciennes unités de longueur, on retrouve un même vocabulaire à travers les pays : le pied, le pouce, la lieue, ... Source :Wikipédia. Prof de meca-longueur de l'astroide - abscisse curviligne. La longueur d'un arc de la courbe représentative d'une fonction (vidéo) Abscisse curviligne. Nos et nous-mêmes stockons et/ou accédons à des informations stockées sur un terminal, telles que les cookies, et traitons les données personnelles, telles que les identifiants uniques et les informations standards envoyées par chaque terminal pour diffuser des publicités et du contenu personnalisés, mesurer les performances des publicités et du contenu, obtenir des données d'audience, et développer et améliorer les produits.
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Veuillez noter que certains traitements de vos données personnelles peuvent ne pas nécessiter votre consentement, mais vous avez le droit de vous y opposer. Abscisse curviligne. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, l'abscisse curviligne est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc. On se donne une origine à partir de laquelle on calcule les longueurs, en les munissant d'un signe pour se situer de façon bien déterminée sur la courbe : à telle distance avant ou après le point initial. L'abscisse curviligne est donc l'analogue, sur une courbe, de l'abscisse sur une droite orientée. Pour les arcs réguliers, l'abscisse curviligne permet de reparamétrer la courbe de façon à s'affranchir des considérations sur la vitesse de parcours. C'est la première opération permettant de définir des notions attachées à la courbe, indépendamment du paramétrage choisi. Élément de longueur[modifier | modifier le code] On considère un arc paramétré de classe donné par la fonction : pour t variant dans un segment .
Notons sa norme C'est la longueur élémentaire parcourue pendant l'intervalle de temps. Volumes Finis 2007 2008. Volume of a Sphere, How to get the formula animation. Espaces métriques. ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges La notion intuitive de distance dans le plan et l'espace euclidiens (»produit scalaire) se généralise à des espaces abstraits : il s'agit des espaces métriques : Un ensemble (non vide) E est qualifié d'espace métrique(»Fréchet) s'il existe une application d : E × E →R+, appelée distance vérifiant les axiomes (propriétés) suivant(e)s : Pour tout x, y, z de E : 1. d(x,y) = 0 si et seulement si x = y 2. d(x,y) = d(y,x) 3. d(x,z) ≤ d(x,z) + d(z,y) L'axiome 3 généralise le résultat de géométrie plane élémentaire, souvent appelé inégalité triangulaire, selon lequel : Dans tout triangle, la mesure d'un côté est inférieure à la somme des deux autres On a, par exemple, BC < AB + AC.
Plus précisément, on doit écrire : | AB - AC | < BC < AB + AC , | AB - BC | < AC < AB + BC et | AC - CB | < AB < AC + CB - 1 < cos < 1 (Â, angle géométrique compris entre 0 et 180°) La mesure des figures - Les dimensions en géométrie. Il y a des figures géométriques qui sont plus grandes que d'autres. Dans ce chapitre nous allons apprendre à les mesurer.
Puis nous verrons également comment est modifiée la mesure d'une figure si on change sa taille ou si on change l'unité de mesure. Longueur, surface, volume La première chose qu'il faut comprendre c'est que l'on ne peut pas mesurer de la même façon des figures qui n'ont pas la même dimension. Pour caricaturer un peu, on peut considérer que les figures de dimensions 3 sont plus grandes que les figures de dimension 2 qui elles-mêmes sont plus grandes que les figures de dimension 1.
Et quand je dis plus grande, c'est infiniment plus grande ! Prenons par exemple, un disque de dimension 2 (même tout petit), et une ligne de dimension 1 (même très grande) : Alors on peut couper la ligne en petits morceaux de façon à la faire tenir dans le disque : Et remarquez qu'il y a encore de la place dans le disque ! Commençons tout de suite par la dimension 1. Les longueurs Les surfaces ). Area of a circle, how to get the formula.
12 espaces euclidiens. Chap alg banach. TER predual Hanna Viscarro. Theospec. Charlotte De Varent , Pluralité des concepts liées aux unités de mesure : liens entre histoire des sciences et didactique, le cas de l’aire du carré dans une sélection de textes anciens. Thèse de doctorat en Philosophie, épistémologie. Didactique et histoire des mathématiques mots clés Semiotic representation register Titre traduit Plurality of concepts related to units of measurement : links between history of science and education research, the case of the area of the square in a selection of ancient texts Résumé This PHD thesis deals with reciprocal contributions of research in the history of ancient mathematics (Cuneiform, Chinese, Sanskrit) and in education research; on the subject of units of measurement. A historical analysis of a selection of paleo-Babylonian tablets from Nippur is proposed, with the help of didactic tools.
An epistemological analysis around ancient texts dealing with units of measurement in area of the square and rectangle is conducted, and related to the didactic reference research work. COMMENT MESURER LA FORME D’UN ESPACE ? Un épisode de la série les 5 minutes Lebesgue Le 27 mars 2018 - Ecrit par Collectif Les 5 minutes Lebesgue S’abonner aux 5 minutes Lebesgue : Les 5 minutes Lebesgue sont une série vidéo proposée par le Centre Henri Lebesgue.
Elle consiste en des exposés mathématiques, indépendants les uns des autres, qui durent chacun cinq minutes chrono ! Abonnez-vous à la série sur YouTube (un nouvel exposé sera mis en ligne chaque semaine) en cliquant sur le bouton rouge YouTube un peu plus haut à droite et retrouvez ci-dessous un exposé de Vincent Colin sur comment mesure la forme d’un espace. Comment construire des espaces exotiques aux propriétés surprenantes et comment, par des expériences locales, en deviner la forme ? Partager cet article Pour citer cet article : Collectif Les 5 minutes Lebesgue — «Comment mesurer la forme d’un espace ?» La théorie du Big-Bang (explique la métrique de l'espace, concept fondamental de la relativité générale) La vidéo du jour parle d’un classique, le Big-Bang, mais sous un angle que j’espère un peu original !
Kant et les Univers-Îles J’ai parlé du « Grand Débat » des années 1920, mais l’idée que les nébuleuses puissent être des Univers à part ne date pas non plus de cette époque. Kant en parlait déjà, et évoquait des « Univers-Îles » ! Les céphéides et Henrietta Leavitt J’ai parlé de la mesure des distances faite par Edwin Hubble, mais je n’ai pas expliqué la méthode.
C’est une technique d’une importance capitale qu’on doit à Henrietta Leavitt, il faudra que je fasse un épisode dessus ! Peut-on parler de courbure sans plongement ? Intuitivement, on a du mal à imaginer le concept de courbure sans plonger un espace de dimension D dans un espace de dimension D+1. La Relativité Générale La métrique et Pythagore généralisé Les équations FLRW & le modèle Lambda-CDM Là je vous renvoie à ma série de billets sur la cosmologie ! DYNAMIQUE DES MESURES. Systèmes dynamiques Le domaine dans lequel s’inscrit le résultat dont je vais vous parler est celui des systèmes dynamiques. Il s’agit de modèles mathématiques décrivant une évolution : c’est large ! Plus précisément, ceux qui m’intéressent le plus sont dits « à temps discret ». Ils consistent en un ensemble de positions que peut prendre le système (son espace de phase ou tout simplement espace), et une règle (on parle d’application) qui donne, en fonction de la position au temps , quelle sera la position au temps .
Voici un exemple classique : on considère comme ensemble de positions l’intervalle , c’est-à-dire l’ensemble des nombres positifs ou nuls et strictement plus petits que . On se donne la règle d’évolution suivante : à chaque étape, on multiplie par la position du système, et si le résultat dépasse alors on enlève . On se demande alors quel est le comportement des itérés , c’est-à-dire de la suite des positions occupées (on parle de trajectoire).
Quelques grains de sables. Intégration, mesure, distributions. PolyIntL3. Introduction à la théorie de la mesure - Lebesgue # 1. Les tribus en mathématiques - Lebesgue # 2. Fonctions mesurables - Lebesgue # 3. Tout savoir sur les mesures - Lebesgue # 4. La mesure de Lebesgue démystifiée ! - Lebesgue # 5. Fonctions étagées et leur intégrale - Lebesgue # 6. Intégrale de Lebesgue des fonctions positives - Lebesgue # 7. Intégrale de Lebesgue - Lebesgue # 8. Égalité presque partout- Espace L1 - Lebesgue # 9. Théorème de convergence dominée - Lebesgue # 10. Intégrales généralisées 1/3 : Les bases. Intégrales généralisées 2/3 : critères de convergences. Intégrales généralisées 3/3 : des exemples et contre-exemples à connaître.
Fonctions définies par une intégrale. Fonction Gamma. Espace de Lebesgue Lp (1/2) -Lebesgue # 11. Espace de Lebesgue Lp (2/2) -Lebesgue # 12. Dimension revêtement Lebesgue. En mathématiques , la dimension de couverture de Lebesgue ou dimension topologique d'un espace topologique est l'une des différentes manières de définir la dimension de l'espace d'une manière topologiquement invariante . Pour les espaces euclidiens ordinaires , la dimension de recouvrement de Lebesgue est juste la dimension euclidienne ordinaire : zéro pour les points, un pour les lignes, deux pour les plans, et ainsi de suite. Cependant, tous les espaces topologiques n'ont pas ce genre de dimension "évidente" , et une définition précise est donc nécessaire dans de tels cas.
La définition procède en examinant ce qui se passe lorsque l'espace est couvert par des ensembles ouverts . L'idée générale est illustrée dans les schémas ci-dessous, qui montrent une couverture et des raffinements d'un cercle et d'un carré. La première définition formelle de la dimension de recouvrement a été donnée par Eduard Čech , sur la base d'un résultat antérieur d' Henri Lebesgue . [1] Intégration, mesure, distributions. Mesures et incertitudes. Incertitude. Grimper à l’échelle des distances cosmiques.