Mathématiques de la tasse de thé. Les phénomènes optiques fascinaient déjà les philosophes de l’Antiquité. Leur étude est le domaine le plus ancien des sciences physiques. Certains chercheurs en ont fait leur tasse de thé. Lorsque la lumière du Soleil se réfléchit sur le bord d’une tasse de thé, elle forme à la surface du liquide une courbe. Quelle est cette courbe et pourquoi en est-il ainsi ? On sait que les rayons lumineux sont réfléchis de telle sorte que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence formé avec la normale à la courbe. La tasse agit comme un miroir cylindrique. Une courbe formée par la réflexion des rayons lumineux sur une surface ou par la réfraction des rayons lumineux traversant un milieu transparent est appelée caustique qui vient du latin « causticus » et du grec « kaustikos » qui signifie « qui brûle ».
Lorsque les rayons lumineux sont issus d’une source à une distance infinie, les rayons lumineux sont parallèles, on a une caustique au Soleil. Néphroïde et tasse de thé Caustique au flambeau. La Table de 2 est au fond de votre Mug ! Visualisation de caustiques. Visualisation de caustiques On nomme caustique l'enveloppe des rayons lumineux ayant subit une réflexion ou une réfraction sur une surface.
Ce mot dérive du grec katein qui signifie "brûler". On visualise ici les caustiques de miroirs sphériques et paraboliques en utilisant une méthode particulière d'affichage. On trace le rayon IS issu d'un point source S (en jaune) qui se réfléchit sur le miroir en I (en vert). Utilisation : Choisir le type de miroir avec les boutons radio. Par commodité, j'ai dans tous les cas placé le point J sur la surface du miroir et les possibles secondes réflexions sur le miroir n'ont pas été prises en compte.
Portion de la caustique d'un miroir cylindrique éclairé sous incidence oblique. Le "miroir" est une tasse à thé contenant un peu d'eau éclairée par le soleil. That weird light at the bottom of a mug — ENVELOPES. Really neat cardioid in my adult beverage tonight. CAUSTIQUE DU CERCLE : avec Géogébra ! La DANZA de los PLANETAS del Sistema Solar | Los 5 Pétalos de VENUS. Caustiques. La courbe du cœur du petit déjeuner. D'où viennent les reflets dans une tasse de thé ? (Ciné-mathique #8) Lait caustique... Fournit facilement une équation paramétrique x = f(α) , y = g(α) de la caustique : 4x = R(3.cos α - cos 3α) , 4y = R(3.sin α - sin 3α) , α ∈[-π/2 à +π/2] Une étude de x = f(α) et y = g(α) avec R = 4 conduit à la courbe ci-dessous, en bleu foncé, restreinte à la partie x ≥ 0.
On a tracé en bleu clair le cercle de centre O de rayon 4. Complétée par symétrie par rapport à (Ox) et (Oy), la caustique est une épicycloïde, plus précisément une néphroïde possédant deux points de rebroussement en (±2,0). Pour l'étude de cette courbe, noter que x est une fonction paire de α et que y une fonction impaire : on peut donc se restreindre à l'intervalle [0,+π/2]. x' = f '(α) = 6sinα(1 - 2sin2α) s'annule alors en 0 et +π/4 et x croît ainsi de 2 à 2√2 puis décroît jusqu'à 0. . ➔ La néphroïde en tant qu'enveloppe des droites (Mz') générée par Cabrijava : Si votre navigateur accepte les applets Java : Déplacez (doucement) le point rouge du diamètre. . © Serge Mehl - www.chronomath.com. Epicycloïde java. La néphroïde est une épicycloïde : elle s'obtient comme lieu d'un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'extérieur d'un cercle de rayon R = 2r.
Une construction assez simple permet de simuler le roulement du cercle (c), A coïncidant avec M au départ. Il s'agit d'obtenir, en termes de longueur d'arc, AT = TM : tracer le cercle (C) de centre O; tracer un rayon OT; placer le centre Ω du cercle roulant (c) en tant que symétrique du milieu de [OT] par rapport à T; placer un point A sur le cercle (C); tracer (AT) coupant le cercle roulant en m; soit n le symétrique de m par rapport à (OΩ); le point mobile dont on cherche le lieu est M, symétrique de T par rapport à (nΩ) : on a fait en sorte que Tm = AT/2 (triangles homothétiques OAT et ΩmT).
Par symétrie, on a Tm = Tn, puis Tn = Mn. D'où, en termes de longueur d'arc : AT = TM. Allez, roulez... Epicycloïde. ÉPICYCLOÏDEEpicycloid, Epizykloide Les épicycloïdes sont les courbes décrites par un point d'un cercle (C) roulant sans glisser sur un cercle de base (C0), les disques ouverts de frontières (C) et (C0) étant disjoints ; ce sont donc des cas particuliers d'épitrochoïdes. Les épicycloïdes sont des courbes formées d'arcs isométriques (les arches) se rejoignant en des points de rebroussements (obtenus pour ) en nombre égal au numérateur du nombre q si q est rationnel et en nombre infini sinon.Lorsque q est rationnel, , la courbe est algébrique rationnelle (prendre comme paramètre ).Elle ressemble à un polygone régulier, croisé si m ³ 2, à n sommets joints de m en m par des courbes situées à l’extérieur du cercle (C0).
Lorsque l'on parle d'épicycloïde simple à n rebroussements (En), on considère le cas q = n, c'est-à-dire celui où il n'y a pas de croisement.Informations dans ce cas : Les épicycloïdes sont des cas particuliers de courbe cycloïdale, avec les hypocycloïdes et la cycloïde. Epicycloïdes. CardioÏdes. Cardioide. Cardioid, Kardioide (od. Herzkurve) La cardioïde dispute à la lemniscate de Bernoulli le record du nombre d'appartenances aux diverses familles de courbes remarquables ; la cardioïde est en effet : 1) une conchoïde de cercle relativement à un point situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle.
Pour obtenir l’équation indiquée en en-tête, prendre la conchoïde du cercle (C) de centre W (a/2, 0) passant par O, relativement à O, de raison a (la cardioïde est donc un cas particulier de limaçon de Pascal).D'où la construction mécanique ci-dessous à partir d'un bâton de longueur 2a coulissant par un point fixe de (C) et dont le centre est contraint de décrire (C). D) l'enveloppe d'un diamètre d'un cercle de rayon a roulant sans glisser sur et extérieurement à (C0). e) l'enveloppe d'une corde (PQ) du cercle de centre W et de rayon Le cercle bleu ci-dessus est le cercle des centres de la famille des cercles, c'est en fait la déférente de cette génération cyclique. Cardioide. Cardioide. Courbes cycloïdes.
Courbes paramétrées.
1 Peu d'Art PT (Python et Trigo) Attention à votre cardio ! Times-Table-Cardioid/main.py at master · Josephbakulikira/Times-Table-Cardioid. Cardioïde. CH96 Courbe brachistochrone Cycloïde 1 / 1. Pascal, Roberval et la quadrature de la cycloïde (Thierry Lambre) Cardioïde comme épicycloïde. Cardioide. Bicardioide. Pour chercher et approfondir - Longueur et aire d’une arche de cycloïde. Jean de Biasi Résumé de l’article L’objet de l’article est de donner plusieurs modes de calcul pour la longueur et l’aire d’une arche de cycloïde engendrée par un point d’un cercle de rayon R roulant sans glissement sur une droite (D). Historiquement, on utilisait une sinusoïde associée à la cycloïde. On peut aussi approcher la cycloïde par une courbe engendrée par un sommet d’un polygone de n côtés inscrit dans le cercle de rayon R, puis on généralise en remplaçant la droite par une courbe quelconque. Plan de l’article 1. Télécharger l’article en pdf dans son intégralité.
Cycloid Optical Illusion Will Boggle Your Mind. Optical illusions typically prey on your mind’s ability to fill in blanks in the visual stimulus it is receiving. Sometimes this can be so strong, your mind continues to be tricked even after it has been explained. Case in point: this video from brusspup, purveyor of mind-melting illusions. The video looks like a wheel made out of eight white circles is rolling around inside of a large, red circle. That’s not what is actually happening, as the video will explain: I don’t know about you, but even after it was explained and the lines were taken away, my brain still wanted to see it as a rolling wheel. So how does this illusion actually work? The entire principle is based on cycloids; half circle shapes that are created by a fixed point on the rim of a circle.
Image credit: Zorgit, via WikiMedia Commons Based off of this principle, the curved line can be represented linearly. Math is really damn cool sometimes. [Hat tip and eternal admiration to: Phil Plait, Slate] Curve Stitching (Cardioid and Nephroid) The Strange Orbit of Earth's Second Moon (plus The Planets) - Numberphile. Caustique. Plus spécifiquement, on parle de caustique « au flambeau » lorsque les rayons lumineux sont issus d'un point à distance finie et de caustique « au soleil » si la source lumineuse se trouve à une distance infinie. Une caustique par réflexion est aussi appelée « catacaustique », tandis qu'une caustique par réfraction est appelée « diacaustique ». En astronomie, des caustiques sont associées aux mirages gravitationnels[1]. Le physicien allemand Ehrenfried Walther von Tschirnhaus consacra sa vie à l'optique géométrique et à la fabrication de lentilles et miroirs à l'usage de l'astronomie. C'est dans ce cadre qu'il étudia en 1682 les caustiques par réflexion.
Il choisit le terme « caustique » en référence au mot grec kaustikos provenant de kaiein (brûler)[2]. Il prouva en outre que les caustiques des courbes algébriques sont rectifiables : on peut calculer analytiquement leur longueur, sur un intervalle donné, par le calcul intégral. Dans le cas de la caustique par réflexion d'une courbe A. Caustic. Generally spoken, a caustic 1) is formed by an envelope of light rays from a point source, diverted by some optical instrument. The source can be at finite distance (like a flame) or at infinite distance (like the sun).
Two situations can be distinguished: Reflection at a curve The envelope of the reflected rays is called a catacaustic.The orthotomic (or secondary caustic) is the reflection of the rays in the tangent of the curve. Refraction at a curve The envelope of the refracted rays is called a diacaustic. Caustic qualities have been studied by Tschirnhausen (1682), Jacques Bernoulli (1691), and La Hire (1703).
The catacaustic of the logarithmic spiral is the curve itself (with a light source in the asymptote of the spiral). Some other catacaustic curves are: The caustic can be generalized for different refraction indices (n1, n2) at the two sides (same and opposite side of S, in relation to the tangent). Some anticaustic curves are the following: notes. Etude métrique des courbes Partie1. Brachistochrone et chaînette. String Art (et Géométrie hyperbolique) Petit déjeuner au lit. Ma cardioïde te dit je t'aime.
Dites-lui "je t'aime" avec des cardioïdes. 6° La cardioide au compas. Les mathématiques du cœur. Equation courbe cœur. Dessinons avec des (épi)ⁿ-cycloïdes. Depuis quelques jours circule une très chouette animation montrant des épicycloïdes dessiner la jeune fille à la perle de Johannes Vermeer. Parce que, oui, les épicycloïdes dessinent très bien, et ça ressemble à ceci : Quand on voit cette animation, on est en droit de ce demander par quelle sorcellerie une telle prouesse est possible ? Pour le savoir, il va falloir fouiller du côté des épicycloïdes et de la théorie de Fourier. Les (épi)cycloïdesOn appelle épicycloïde la courbe que l'on obtient en suivant la trajectoire d'un point situé situé sur le périmètre d'un cercle roulant sur un autre cercle; L'exemple le plus simple d'épicycloïde est la cardioide, obtenue en regardant un disque rouler sur le périmètre d'un disque de même rayon.
Je voulais sortir cet article pour la saint-Valentin, mais c'est raté Pour simplifier nos équations, on va considérer un autre type d'épicyloïdes (qui ne mériteraient pas de porter ce nom, mais on va faire avec). Une bien jolie cardioïde La France d'ordre N=10. Cycloïd-E - Cod.Act. Un objet-spectacle, une sculpture sonore fascinante! D’abord, le désir d’approcher des mécanismes produisant des mouvements ondulatoires visibles et de les mettre en relation avec le développement des ondes sonores. Un pendule. Et si ce pendule était composé de segments articulés à l’horizontale, si l’effet de gravitation était remplacé par un moteur? Dès lors, les segments du pendule deviennent des tubes métalliques équipés de sources sonores et d’instruments de mesure capables de les faire résonner en fonction de leur rotation. Se révèle alors une succession de mouvements imprévisibles. Aspect mécanique et plastique Les créations de Cod.Act sont souvent inspirées par la science.
Nous avons donc cherché à produire des mouvements mécaniques ondulatoires visibles et semblables au développement d’une onde sonore mais à une autre échelle des fréquences, bien évidemment. Nous nous sommes alors intéressés à un aspect plus formaliste de la relation entre le mouvement et le son. La musique. LA BALEINE, LA CYCLOÏDE ET LE CYLINDRE. Je lis Moby-Dick. Je l’ai déjà lu au moins deux fois. Je lis la traduction de Philippe Jaworski de Moby-Dick (la plus récente, celle de l’édition en Pléiade). Et ça, c’est la première fois. Je me souviens que je n’écris pas une critique littéraire, ni un compte rendu de lecture, mais un billet pour Images des mathématiques. Je lis Moby-Dick, je suis une lectrice. Au chapitre XCVI, Melville décrit le nettoyage des chaudières du navire baleinier, et : Et bien des entretiens confidentiels se déroulent par-dessus les rebords de fer quand deux hommes sont occupés à astiquer les cuves côte à côte, chacun dans la sienne.
Ce commentaire arrive ici un peu comme un cheveu dans la marmite de graisse de baleine, non ? Une cycloïde, c’est la courbe que décrit un point rouge sur une circonférence qui roule sans glisser sur une droite (comme sur la figure). Une cycloïde La propriété de la cycloïde à laquelle Melville fait allusion est le fait que « la cycloïde est tautochrone » (on dit aussi isochrone). Cycloïd-E. Cod.Act - André et Michel Décosterd - performances et installations interactives. Die Kardioide. Sur les anticaustiques par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles LaguerreNAM 1883 3 2 16 1. La cycloïde / Études // Études Mathématiques. En hiver, vous pouvez construire un toboggan de glace et vérifier vous-même cette propriété! Le problème de la tautochrone consiste à trouver une courbe de façon que, à partir de n’importe quel point de celle–ci, le temps de descente jusqu’à un point donné est le même.
Christiaan Huygens démontra que la cycloïde est la seule courbe tautochrone. Bien sûr, Huygens ne s’intéressait pas aux descentes sur la glace. A cette époque, les scientifiques ne connaissaient pas le luxe de s’occuper de sciences pour plaisir. Les problèmes venaient de tenter de résoudre les problèmes techniques de leur temps. Le premier savant qui a pensé de construire un pendule exacte a été Galilée Galilei.
Il remarqua que la période d’oscillation d’un pendule commune, tel que Galilée l’avait observé, dépend de la position initiale, c’est–à–dire, de l’ouverture de l’angle. Science But it's a Race. Dessin grâce à Joseph Fourier.